Convexidad de $(X, y) \mapsto y^T X^{-1} y$

Question

Dejemos que $y \in \mathbb{R}^n$ , $X \in \mathcal{S}^n_{++}(\mathbb{R})$ . ¿Por qué la función $ f : (X, y) \mapsto y^T X^{-1} y$ ser convexo?

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Lo intenté con $(X, x) + t.(Y, y)$ sin ningún resultado. Además, he pensado en utilizar los valores propios de $X$ sin resultado. ¿Tiene alguna idea?

Answer 1

Esto se muestra en el ejemplo 3.4 "Función matricial fraccionaria" de Optimización convexa - Boyd y Vandenberghe . El epígrafe se transforma mediante el complemento de Schur (para manejar la matriz inversa) en una LMI convexa.

Answer 2

Aquí hay una prueba completa.

1. Se demuestra fácilmente que si $S\in{\mathcal S}^n_{++}$ y si $zz^T\prec S$ (en el orden entre matrices simétricas), entonces $$\frac12 y^TX^{-1}y\ge z\cdot y-\frac12 {\rm Tr}(SX).$$ Sugerencia : empezar con la desigualdad obvia $$\frac12\left( y^TX^{-1}y+z^TXz\right)\ge z\cdot y.$$
2. Por otro lado, la igualdad se consigue tomando $z=X^{-1}y$ y $S=X^{-1}yy^TX^{-1}$ .
3. Por lo tanto, tenemos $$\frac12 y^TX^{-1}y=\sup\left\{ z\cdot y-\frac12 {\rm Tr}(SX)\right\},$$ donde el supremum se toma entre los $(z,S)$ tal que $zz^T\prec S$ .

Ahora el lado derecho, siendo el supremum de las formas lineales de $(y,X)$ es una función convexa.