Flujo geodésico en superficies infinitas

Question

El flujo geodésico en una superficie hiperbólica compacta (es decir, una superficie con una métrica riemanniana de curvatura constante $-1$ ) ha sido bien estudiado, en particular se sabe desde hace mucho tiempo que es ergódico (de hecho se mezcla). Sin embargo, en una superficie hiperbólica de volumen infinito, no conozco ningún resultado sobre las propiedades dinámicas de este flujo (sin embargo, parece que hay algunos resultados sobre superficies de traslación infinita). Agradezco cualquier referencia a resultados en esta dirección como respuesta (o quizás más apropiadamente como comentario) a esta pregunta.

He aquí algunas consultas más específicas: let $S$ sea una superficie hiperbólica completa de volumen infinito (para simplificar supongamos que $S$ no tiene cúspides; si fuera necesario también se podría suponer que $S$ tiene un radio de inyectividad positivo, aunque prefiero evitar hacer esta hipótesis).

1. Si $S$ tiene un subconjunto abierto $U$ de los extremos que es un conjunto de Cantor (es decir, una vecindad de $U$ es difeomorfo a la frontera de una vecindad regular de un árbol incrustado en $\mathbb{R}^3$ ), ¿el flujo geodésico de $S$ partiendo de algún punto base volver a cualquier vecindad de un extremo en $U$ infinitas veces con probabilidad positiva (dependiendo uniformemente del punto base en un subconjunto compacto de $S$ )?
2. Si $E$ es un extremo aislado de $S$ con crecimiento de volumen lineal o cuadrático, ¿el flujo geodésico deja alguna vecindad de $E$ con probabilidad uno?

Obsérvese que estas cuestiones son análogas para las superficies a los hechos correspondientes para los paseos aleatorios sobre grafos infinitos (de valencia acotada).

Por comodidad, permítanme recordar aquí la definición de extremo de una superficie. Para ello hay que fijar una secuencia $K_i$ de subconjuntos compactos, con $K_i\subset K_{i+1}$ y $\bigcup_i K_i = S$ . Un fin de $S$ se determina entonces mediante una secuencia $C_i$ donde $C_i$ es un componente conexo de $S\setminus K_i$ y $C_{i+1}\subset C_i$ . La topología sobre el conjunto de extremos tiene por base de conjuntos abiertos los conjuntos de extremos que comienzan con una secuencia finita dada $C_1\supset\ldots \supset C_n$ para todas estas secuencias.

Answer 1

La dinámica del flujo geodésico para variedades de volumen infinito se ha estudiado mucho, pero con respecto a la medida más relevante, que es la medida de Bowen-Margulis-Patterson-Sullivan. Una referencia completa podría ser Roblin, Mémoires SMF.

Pero supongo que sólo te interesa la medida de Lebesgue/Liouville.

En los ejemplos que tienes en mente, el flujo geodésico será típicamente disipativo.

En primer lugar, el caso de las cubiertas abelianas de superficies hiperbólicas compactas es bien conocido. El flujo geodésico es ergódico en el caso de las cubiertas Z o Z^2, y totalmente disipativo en los demás casos. Esto se debe a Mary Rees y a otros anteriores.

Esto permite creer que la respuesta a su pregunta 2 podría ser positiva. Pero que yo sepa, no se sabe nada preciso, para ambas preguntas.

Si la superficie que le interesa es una cubierta regular de una superficie hiperbólica compacta, supongo que elevar la codificación del flujo geodésico de la superficie compacta a la cubierta podría permitir utilizar los resultados probabilísticos sobre paseos aleatorios. (En su trabajo común, Ledrappier-Sarig utilizan dicha codificación elevada a la cubierta).

Sin embargo, si la superficie no es una cubierta, no conozco ningún método para demostrarlo.

Los mejores

Barbara

Answer 2

Como punto de partida recomendaría las encuestas

Grupos fucsianos desde el punto de vista dinámico por Starkov

y

Propiedades ergódicas del flujo de horóscopos y clasificación de los grupos fucsianos por Kaimanovich.