El flujo geodésico en una superficie hiperbólica compacta (es decir, una superficie con una métrica riemanniana de curvatura constante $-1$ ) ha sido bien estudiado, en particular se sabe desde hace mucho tiempo que es ergódico (de hecho se mezcla). Sin embargo, en una superficie hiperbólica de volumen infinito, no conozco ningún resultado sobre las propiedades dinámicas de este flujo (sin embargo, parece que hay algunos resultados sobre superficies de traslación infinita). Agradezco cualquier referencia a resultados en esta dirección como respuesta (o quizás más apropiadamente como comentario) a esta pregunta.
He aquí algunas consultas más específicas: let $S$ sea una superficie hiperbólica completa de volumen infinito (para simplificar supongamos que $S$ no tiene cúspides; si fuera necesario también se podría suponer que $S$ tiene un radio de inyectividad positivo, aunque prefiero evitar hacer esta hipótesis).
- Si $S$ tiene un subconjunto abierto $U$ de los extremos que es un conjunto de Cantor (es decir, una vecindad de $U$ es difeomorfo a la frontera de una vecindad regular de un árbol incrustado en $\mathbb{R}^3$ ), ¿el flujo geodésico de $S$ partiendo de algún punto base volver a cualquier vecindad de un extremo en $U$ infinitas veces con probabilidad positiva (dependiendo uniformemente del punto base en un subconjunto compacto de $S$ )?
- Si $E$ es un extremo aislado de $S$ con crecimiento de volumen lineal o cuadrático, ¿el flujo geodésico deja alguna vecindad de $E$ con probabilidad uno?
Obsérvese que estas cuestiones son análogas para las superficies a los hechos correspondientes para los paseos aleatorios sobre grafos infinitos (de valencia acotada).
Por comodidad, permítanme recordar aquí la definición de extremo de una superficie. Para ello hay que fijar una secuencia $K_i$ de subconjuntos compactos, con $K_i\subset K_{i+1}$ y $\bigcup_i K_i = S$ . Un fin de $S$ se determina entonces mediante una secuencia $C_i$ donde $C_i$ es un componente conexo de $S\setminus K_i$ y $C_{i+1}\subset C_i$ . La topología sobre el conjunto de extremos tiene por base de conjuntos abiertos los conjuntos de extremos que comienzan con una secuencia finita dada $C_1\supset\ldots \supset C_n$ para todas estas secuencias.
