Dadas las álgebras C* $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ .
(¡Posiblemente unital!)
Los morfismos son contractivos: $$\varphi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}:\quad\|\varphi\|\leq1$$ (¡Probablemente no sea unital!)
¿Cómo aplicar la unitización?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La forma de mostrar la contractividad suele funcionar así:
Si $\Phi : \mathcal A \to \mathcal B$ es un $*$ -morfismo entre $C^*$ Álgebras, se puede asumir en general $\mathcal A$ sea unital (de lo contrario, añadirá la unidad a $\mathcal A$ y ampliar $\Phi$ para que $\Phi(\mathbb{1}_{\mathcal A})=\mathbb{1}_{\mathcal B}$ , si $\mathcal B$ no es unital entonces extiéndelo también para que esto funcione). En ese caso, si se define $\pi= \Phi(\mathbb{1}_{\mathcal A})$ tienes $\pi^2=\pi=\pi^*$ y, o bien $\pi=0$ o $\pi$ es una proyección de la norma $1$ .
A continuación se puede ver que la imagen de $\mathcal A$ en $\Phi$ es un subconjunto de $\mathcal B':=\pi \mathcal B \pi$ (porque $\Phi(A)=\Phi(\mathbb{1}_{\mathcal A} A \mathbb{1}_{\mathcal A})=\pi\Phi(A)\pi$ ). $\pi$ es una unidad en $\mathcal B'$ y $\mathcal B'$ es un $C^*$ álgebra, la completitud en el sentido métrico se desprende de:
$$\pi A_n \pi -B \to 0 \implies \pi (\pi A_n \pi - B)\pi = \pi A_n \pi - \pi B \pi \to 0$$
Y has reducido al caso de un unital $*$ -morfismo. Añadiré la prueba de ese caso para completarlo:
Si $A \in \mathcal A$ entonces $\sigma_\mathcal{A}(A)\supset \sigma_\mathcal{B'} (\Phi(A))$ porque los morfismos unitarios conservan la invertibilidad.
En el caso de un autoadjunto $A$ entonces tienes $\|A\|=\sup \sigma_{\mathcal A}(A)$ y $\|\Phi(A)\|=\sup \sigma_\mathcal{B'} (\Phi(A))≤\|A\|$ .
Si $A$ no es autoadjunto, $A^*A$ es así y $\|A\|^2=\|A^*A\|≥\|\Phi(A^*A)\|=\|\Phi(A)^*\Phi(A)\|=\|\Phi(A)\|^2$ .
Freeze_S
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Ampliando la respuesta de s.sharp..
Álgebra
Dada una álgebra C* $1_\mathcal{Z}\notin\mathcal{Z}$ .
Unitización: $$\iota_\mathcal{Z}:\mathcal{Z}\hookrightarrow\mathcal{Z}\oplus\mathbb{C}:\quad\iota_\mathcal{Z}Z:=Z\oplus0$$ $$\pi_\mathcal{Z}:\mathcal{Z}\oplus\mathbb{C}\twoheadrightarrow\mathcal{Z}:\quad\pi_\mathcal{Z}(Z\oplus\lambda):=Z$$
Isometricidad: $$\|\iota_\mathcal{Z}Z\|=\|Z\|\quad\|\pi_\mathcal{Z}(Z\oplus0)\|=\|Z\|$$
(¡Interesante!)
Morfismo
Extensión: $$\Phi:\mathcal{A}(\oplus\mathbb{C})\to\mathcal{B}(\oplus\mathbb{C}):\quad\Phi A(\oplus\lambda):=\varphi A\left(+\lambda1_{\mathcal{B}(\oplus\mathbb{C})}\right)$$
Rango-Unidad: $$1_\mathcal{R}:=\Phi1_{\mathcal{A}(\oplus\mathbb{C})}:\quad 1_\mathcal{R}R\equiv R\equiv R1_\mathcal{R}\quad(R\in\overline{\mathcal{R}\Phi})$$
Restricción: $$\Phi_\mathcal{R}:\mathcal{A}(\oplus\mathbb{C})\to\overline{\mathcal{R}\Phi}:\quad\Phi_\mathcal{R}A(\oplus\lambda):=\Phi A(\oplus\lambda)$$
Conservación de la unidad: $$\Phi_\mathcal{R}1_{\mathcal{A}(\oplus\mathbb{C})}=\Phi1_{\mathcal{A}(\oplus\mathbb{C})}=1_\mathcal{R}$$
Acción-Identificación: $$\varphi=(\pi_\mathcal{B}\circ)\Phi(\circ\iota_\mathcal{A}) =(\pi_\mathcal{B}\circ)\Phi_\mathcal{R}(\circ\iota_\mathcal{A})$$ (¡Rangos modulares!)
