¿Existe una definición matemáticamente precisa de turbulencia para las soluciones de Navier-Stokes?

Question

Dada una solución $S$ de las ecuaciones de Navier-Stokes, ¿hay alguna manera de hacer matemáticamente precisa una afirmación como " $S$ es turbulento en la región del espacio-tiempo $U$ "?

Y si existe tal definición, ¿se conocen soluciones exactas de Navier-Stokes que presenten turbulencia?

La lectura de la Wikipedia me lleva a plantear también las siguientes preguntas relacionadas:

1. ¿Un solo vórtice ¿Cuenta como turbulencia?
2. ¿Es la aparición de vórtices una característica necesaria de la turbulencia?
3. ¿Cuál es la diferencia entre un vórtice y un eddy ?

Se agradecen las indicaciones sobre la bibliografía (matemáticamente rigurosa).

Answer 1

Probablemente no exista una definición matemática universalmente aceptada de la turbulencia. (Por cierto, ¿hay alguna física?) Además, las definiciones predominantes parecen ser muy volátiles y dependientes del tiempo.

Algunos ejemplos notables.

• En la época ptolemaica Teoría de Landau-Hopf La turbulencia se entiende como una cascada de bifurcaciones desde equilibrios inestables a través de soluciones periódicas ( la bifurcación de Hopf ) a soluciones cuasiperiódicas con una base de frecuencia arbitrariamente grande.

• Según Arnold y Khesin En la década de 1960, la mayoría de los especialistas en EDP consideraban que la falta de existencia global y de teoremas de unicidad para las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes en 3D era la explicación de la turbulencia.

• Kolmogorov sugirió estudiar atractores mínimos de las ecuaciones de Navier-Stokes y formuló varias conjeturas como explicaciones plausibles de la turbulencia. La más débil dice que el máximo de las dimensiones de los atractores mínimos de las ecuaciones de Navier-Stokes crece junto con el número de Reynolds Re.

• En 1970 Ruelle y Takens formularon la conjetura de que la turbulencia es la aparición de atractores globales con dependencia sensible del movimiento de las condiciones iniciales en el espacio de fase de las ecuaciones de Navier-Stokes ( enlace ). A pesar de la gran popularidad de su artículo, aún se desconoce la existencia de tales atractores.

Editar 1. En cuanto a las soluciones explícitas de las ecuaciones de Navier-Stokes, no creo que ninguna de ellas presente realmente características de turbulencia. La cuestión es que el término no lineal $v\cdot \nabla v$ es igual a $0$ para la mayoría de las soluciones clásicas explícitas conocidas. En otras palabras, estas soluciones resuelven realmente la ecuación lineal de Stokes y no "ven" la no linealidad del sistema completo de Navier-Stokes. Probablemente, esto no es lo que cabría esperar de un flujo verdaderamente turbulento.

Editar 2. En cuanto a la referencia rápida, puede encontrar útil la breve estudio sobre las teorías de la turbulencia por Ricardo Rosa. Aparece como un artículo en el Enciclopedia de Física Matemática .

Answer 2

El propio Leray dio una definición de este tipo en su artículo en el 1930's. Si quiere una traducción de la misma, hay una en mi página web en http://www.math.cornell.edu/~bterrell

Answer 3

Un excelente libro sobre el tema es " Ecuaciones de Navier-Stokes y turbulencia ", por, entre otros, Roger Temam, que es una autoridad en la materia.

Answer 4

No, no existe una definición universal sobre la turbulencia, ni matemática ni físicamente. Algunos creen que la ecuación N-S es la única que rige el movimiento de los fluidos e induce la turbulencia, mientras que otros defienden la visión del fenómeno basada en la estadística. Entre otros, el libro de Lesieur "turbulence in fluids" ofrece algunos detalles sobre el tema. Si no hay acuerdo entre los físicos sobre la definición de turbulencia, cualquier pretensión de una teoría matemática universal sobre el tema es arriesgada.

La existencia de vórtices es una necesidad para la turbulencia, pero un solo vórtice definitivamente no es suficiente, lo mismo que el dígito 24 no es teoría de números. Eddy no es más que el nombre de vórtice por tradición. Dentro de la teoría de modelización de la turbulencia, suele referirse al movimiento de los vórtices fuera de la escala del flujo medio.

Answer 5

Entiendo que la turbulencia se define como un parche caótico de vorticidad. Esta definición proviene de http://books.google.co.uk/books?id=rkOmKzujZB4C&lpg=PP1&dq=davidson%20turbulence&pg=PP1#v=onepage&q=davidson%20turbulence&f=false

Esta definición implica que la vorticidad es una característica necesaria de la turbulencia. Supongo que la mancha de vórtice tendería a una estructura estable como un vórtice.

Un vórtice suele referirse a un vórtice puntual matemáticamente definible. Un remolino es un término menos riguroso para designar un movimiento de vuelco que a menudo implica un vórtice.