Actualmente estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio de álgebra conmutativa.
Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con $1$ , $M$ un $R$ -módulo. Sea $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R)$ . Denote por $\kappa(\mathfrak{p})$ el campo de residuos en $\mathfrak{p}$ . Definir el fibra $M(\mathfrak{p})$ de $M$ en $\mathfrak{p}$ para ser el $\kappa(\mathfrak{p})$ -espacio vectorial $M_\mathfrak{p} / \mathfrak{p}M_\mathfrak{p}$ donde el índice $\mathfrak{p}$ denota la localización en $\mathfrak{p}$ . Demuestre que, si $M$ está generada finitamente, para todo $n \in \mathbb{N}$ el conjunto $A_n := \lbrace \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(R): \dim_{\kappa(\mathfrak{p})} M(\mathfrak{p}) \leq n \rbrace$ está abierto.
Esta es mi idea hasta ahora. Arreglar algunos $\mathfrak{p}$ y supongamos que la dimensión de $M(\mathfrak{p})$ es menor o igual que $n$ . Elija los generadores $b_1, \ldots, b_n$ . Por Nakayama, podemos elevar estos a generadores $m_1, \ldots, m_n$ de $M_\mathfrak{p}$ .
Los siguientes pasos serían elevar esto a los generadores de $M$ y para codificar la suryección $R^n \to M$ que asigna al $i$ -ésima base vectorial estándar el $i$ -a generador de $M$ una matriz sobredeterminada de algún tipo. La subjetividad entonces da cuenta del hecho de que algún menor cuadrático de esta matriz no debe desaparecer, expresando así $A_n$ como una unión de subconjuntos abiertos principales. Sin embargo, no veo cómo esto debería ser posible sin ninguna otra suposición sobre la noeterianidad, etc., lo que me lleva a creer que no estoy en el camino correcto con este enfoque. Cualquier comentario sobre esto sería bienvenido, especialmente una indicación sobre cómo continuar esta línea de pensamiento (si es posible) o cómo solucionarlo.
No estoy muy familiarizado con el lenguaje de los esquemas, así que agradecería soluciones que no hagan un uso sustancial de la geometría algebraica.
