¿Por qué es de Banach–Tarski de la paradoja de tan interesante?

Question

Aquí es cómo entiendo la Banach–Tarski paradoja, basado en el artículo de la Wikipedia : con una inteligente de partición, se puede descomponer una sólida bola en dos sólidos bolas, cada una idéntica a la primera.

Escucho esta paradoja citado aquí y hay una gran cantidad, pero yo realmente no se lo que lo hace tan interesante.

Por ejemplo, se acepta fácilmente que $[0,1]$ y $[0,2]$ son isomorfos.

Podemos, por el mismo razonamiento que muestran que un cubo en $\mathbb{R}^3$ es isomorfo a dos veces por sí mismo.

Para mí, parece que el 'Banach-Tarski paradoja' sigue inmediatamente.

He perdido de algo ?

PS : estoy hablando de la versión raw de la paradoja, no las numerosas extensiones que se han hecho de ella, como muestra de que la descomposición puede ser elegido de tal manera que las piezas se pueden mover continuamente en su lugar sin correr una en la otra, etc.

Answer 1

La razón por la que es interesante es que en la naturaleza exacta de la isomorfismo involucrados en el Banach Tarski paradoja, a saber, el isomorfismo hasta rígido movimiento de $\mathbb{R}^3$.

Lo que la paradoja que dice es que una sólida bola en $\mathbb{R}^3$ puede ser dividido en un número finito de conjuntos $A_1,...,A_K$, y los conjuntos de $A_1,...,A_K$ puede ser movida por rígidos movimientos de $\mathbb{R}^3$, por lo que se constituye sólido dos bolas cada uno de el mismo tamaño que el original. Que no es lo que está pasando en $[0,1]$ y $[0,2]$.

Añadido a fin de abordar algunos de los comentarios: La de Banach-Tarski paradoja no ocurre en $\mathbb{R}$ o en $\mathbb{R}^2$. La razón de fondo de esta diferencia con $\mathbb{R}^3$ es que el grupo de los movimientos rígidos de $\mathbb{R}$ o de $\mathbb{R}^2$ es susceptible, mientras que el grupo de los movimientos rígidos de $\mathbb{R}^3$ contiene un grupo libre de rango $>$ 1 y por lo tanto no es susceptible.

Answer 2

El mapa de $[0,1]$ $[0,2]$ no preservar la medida. El mapa, que "recomponer" la unidad de la bola. Lo que refuerza el punto de que "outlaw conjuntos" puede desobedecer muchas "leyes" (en este caso, forajidos significa que no se pueden medir, y desobedecer una ley que significa tener un comportamiento extraño en virtud de medir la preservación de los mapas).

Answer 3

De Banach-Tarkis paradoja muestra que es imposible tener una Banach medida en 3 dimensiones. Esto es un poco decepcionante, porque nos permiten "medir" todos los conjuntos, en algún sentido, si es que existía. También, esto es sorprendente, porque de Banach que existen medidas en la dimensión $1$ y $2$.

Una de Banach medida es parecida a la de un "normal" de la medida, excepto:

1. Sólo es necesario ser finitely aditivo.
2. Se supone que debe ser definido para todos los conjuntos y será conservada por isometrías.

Tales medidas son menos útiles para el propósito de desarrollar la integración de la teoría, y así sucesivamente, pero no está claro a priori (al menos para mí) que son menos interesantes que el "normal" de las medidas.

Como para el "isomorfismo" entre $[0,1]$ y $[0,2]$, esto demuestra que no podemos tener una medida que es invariante bajo la escala, lo cual no es sorprendente en absoluto (sería bastante sorprendente si usted tuvo como invariancia!).