Encuentre el valor mínimo de $f=x^2+y^2+x(1-y)+y(1-x)$ , aguanta $x,y$ son números enteros.

Question

Dejemos que $x$ y $y$ son números enteros tales que $-2\le x\le3$ y $-8\le y\le4$

Encuentre el valor mínimo de $f=x^2+y^2+x(1-y)+y(1-x)\tag{1}$

Desde $(1)$ Me sale $f=(x-y)^2+x+y$ y no sé qué debo hacer ahora.

He intentado utilizar la diferencial de f pero no obtengo ningún punto crítico (el mínimo está en el límite $x=-2,x=3,y=-8$ o $y=4$ ). Encontré el mínimo en $x=-2$ pero $y=-2.5$ que no es entero, la ecuación f que se mantiene en $x=-2$ es $(y+2.5)^2-4.25,$ Así que no hay conclusión para $x,y$ son enteros o ¿Se puede concluir que $y=2,3$ minimizar f ? (creo que esta solución es adecuada para los números reales).

Había tratado de sustituir todos los casos posibles entonces obtuve el mínimo es $-4$ cuando $(x,y)$ = $(-2,-2)$ , $(-2,-3)$ .

Se agradece toda la ayuda.

Answer 1

Porque $x$ y $y$ son enteros, tenemos $$f(x,y)=(y-x)^2+(y-x)+2x=\left(y-x+\frac{1}{2}\right)^2+2x-\frac{1}{4}\geq \frac{1}{4}+2x-\frac{1}{4}=2x\geq-4\,.$$ Por lo tanto, $f(x,y)\geq-4$ . La igualdad se mantiene si $y-x+\frac{1}{2}=\pm\frac{1}{2}$ y $x=-2$ que lleva a $(x,y)=(-2,-2)$ y $(x,y)=(-2,-3)$ .

Si $x$ y $y$ puede tomar valores no integrales (dentro de los rangos requeridos), entonces $$f(x,y)\geq 2x-\frac{1}{4}\geq -\frac{17}{4}\,.$$ La igualdad se mantiene si $y-x+\frac{1}{2}=0$ y $x=-2$ es decir, $(x,y)=\left(-2,-\frac{5}{2}\right)$ .

Para el máximo, observamos que $-\frac{21}{2}\leq y-x+\frac{1}{2}\leq \frac{13}{2}$ Así que $$f(x,y)\leq \frac{441}{4}+2x-\frac{1}{4}= 110+2x\leq 116\,.$$ La igualdad se mantiene si y sólo si $y-x+\frac{1}{2}=-\frac{21}{2}$ y $x=3$ , lo que significa que $(x,y)=(3,-8)$ .

Answer 2

Se trata de un tipo de solución :

puedes escribir un programa en matlab para encontrar el mínimo

a=zeros(6,13);

para x=-2:3

for y=-8:4  

    a(x+3,y+9)=(x-y)^2+x+y
end; 

fin; Si ejecuta esto, tendrá $f(x,y)=(x-y)^2+x+y$

como puede ver max $f(x,y)=116$ ,min $f(x,y)=-4$

Answer 3

Fuerza bruta en Haskell:

Prelude> let f x y = x**2 + y**2 + x*(1-y) + y*(1-x)
Prelude> let graph = [ ((x,y),f x y) | x <- [-2..3], y <- [-8..4] ]
Prelude> minimum (map snd graph)
-4.0
Prelude> filter (\((x,y),z)->(z==(-4.0))) graph
[((-2.0,-3.0),-4.0),((-2.0,-2.0),-4.0)]

Así, el mínimo es $-4$ y los minimizadores son efectivamente $(-2,-3)$ y $(-2,-2)$ .