Supongamos que $X_i$ se distribuyen exponencialmente con una tasa $\lambda_i,i=1,2.$ Calcular $\Pr(X_1<X_2)$ .
Intenté cambiarlo por $\int_{0}^{\infty}Pr(X_2>x|X_1=x)dx$ pero no tengo ni idea de cómo hacer la integración.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Será conveniente llamar a $X_1$ por el nombre $X$ y $X_2$ por el nombre $Y$ .
Para calcular la probabilidad, debemos hacer ciertas suposiciones. Probablemente se espera que se asuma que $X$ y $Y$ son independiente . Entonces se puede encontrar fácilmente la densidad de unión $f(x,y)$ de $X$ y $Y$ es el producto de las densidades individuales.
Trazar la línea $y=x$ . Queremos la probabilidad de estar por encima de esa línea. Esta es $$\int_{x=0}^\infty \left(\int_{y=x}^\infty f(x,y)dy \right)\,dx.$$
En este caso, probablemente puedas escribir inmediatamente la integral interna.
