¿Ha impartido este curso anteriormente? Después de enseñarlo varias veces a partir de Millman/Parker y otros materiales utilizando los axiomas de Birkhoff, le sugiero que considere utilizar el propio Euclides más la guía de Hartshorne, Geometría: Euclid and beyond, que utiliza una forma de los axiomas de Hilbert.
El problema para mí es que los números reales son mucho más sofisticados que la geometría euclidiana, por lo que el enfoque de Birkhoff es un poco retrógrado, excepto para los expertos como nosotros que sabemos lo que son los números reales.
Cuando cubrimos todo lo que pudimos de Millman/Parker, la parte más agradable para la clase fue la sección sobre la geometría neutra, que aprendí recientemente que fue levantada corporalmente del Libro I de Euclides.
Si te gusta suponer que cada línea del plano es realmente los números reales R, ¿qué tal si vas más allá y supones que el propio plano es R^2? Entonces puedes usar matrices para definir los movimientos rígidos y hacer muchas cosas que conectan con sus cursos de cálculo.
Moise es más sucinto de lo que sugieren las 500 páginas, según recuerdo, y es un texto excelente desde el punto de vista de un matemático, pero muy prohibitivo probablemente desde el de un estudiante. Me he dado cuenta de que Moise pasó de 1,4 a 1,9 libras de la primera edición a la tercera, así que quizá la primera sea también un 25% más corta.
Los antiguos libros de SMSG de los años 60 se basaban en el enfoque de Birkhoff, pero no son cortos. También están disponibles gratuitamente en la web.
Acabo de mirar el viejo libro de SMSG y he encontrado la siguiente discusión de tipo circular sobre los números reales: "si rellenas todos esos otros puntos no racionales de la recta, tienes los números reales".
Clint McCrory pasó varios años desarrollando su propio curso utilizando el enfoque de Birkhoff en la UGA, y lo hizo con mucho éxito. Aquí hay un enlace a la página de su curso. A los estudiantes les encantó su clase, al menos en su forma evolucionada, después de un par de años. Al parecer, muchos estudiantes tenían poca intuición geométrica y la utilizaron para adquirirla. Sin embargo, parece que Clint nunca encontró un libro apropiado para utilizarlo.
http://www.math.uga.edu/~clint/2008/geomF08/home.htm
Después de enseñar yo mismo este curso a partir de Greenberg, Millman/Parker, Clemens, complementado por Moise, y los trabajos originales de Saccheri, mis propios axiomas de Birkhoff, finalmente encontré que Euclides y Hartshorne son mis favoritos, por un amplio margen.
Pero lo bonito del tema es que no hay una opción perfecta. Es probable que usted también disfrute de la búsqueda de su favorito. Sin embargo, hay una razón por la que Euclides tiene la longevidad que tiene.
En pocas palabras, hay dos conceptos equivalentes, la semejanza y el área, que se tratan en orden inverso en Euclides y Birkhoff. La teoría de la igualdad de contenido de Euclides, a través de la equidecomposibilidad, en su Libro I, le permite utilizar el área para demostrar el principio fundamental de la semejanza en el Libro VI. Birkhoff asume la semejanza como un axioma, y el área es relativamente fácil utilizando la semejanza, por ejemplo, la semejanza permite demostrar que la fórmula A = (1/2)BH para el área de un triángulo es independiente de la elección de la base. El propio Euclides utiliza la semejanza para deducir un teorema general de Pitágoras en la Prop. VI.31, cuya demostración muchos prefieren como "más sencilla" que la propia demostración de Pitágoras basada en el área en la Prop.I.47. El problema es que, que yo sepa, nunca ha habido una civilización en la que la similitud o la proporcionalidad se hayan desarrollado antes que la idea de descomponer y volver a montar figuras. En resumen, la congruencia, en la que se basa la equidecomposibilidad, es más fundamental que la semejanza. Por lo tanto, aunque lógicamente cualquiera de los dos conceptos puede ser utilizado para deducir el otro, me parece al menos que el concepto más primitivo debe ser colocado primero en un curso.
