Formas alternativas de la ecuación de Bessel

Question

Tengo una pregunta sobre una forma alternativa de la ecuación de Bessel y cómo esa forma alternativa se traduce en la ecuación de Bessel modificada y su solución. La forma modificada es de: http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html

y se ve así: $$ \frac{d^2 y}{dx^2}+\frac{1-2\alpha}{x}\frac{dy}{dx}+\left(\beta^2\gamma^2x^{2\gamma-2}+\frac{\alpha^2-n^2\gamma^2}{x^2}\right)y=0 $$ y tiene las siguientes soluciones: $$ y= \begin{cases} x^\alpha\left[AJ_n(\beta x^\gamma)+BY_n(\beta x^\gamma)\right] &\text{ for integer }n \\ \\ x^\alpha\left[AJ_n(\beta x^\gamma)+BJ_{-n}(\beta x^\gamma)\right] &\text{ for noninteger }n \end{cases} $$ Por el momento, sólo me preocupa el caso en el que $\gamma=1$ y $\alpha=n$ por lo que la ecuación se simplifica a: $$ \frac{d^2 y}{dx^2}+\frac{1-2\alpha}{x}\frac{dy}{dx}+\beta^2y=0 $$ con las siguientes soluciones: $$ y= \begin{cases} x^\alpha\left[AJ_\alpha(\beta x)+BY_\alpha(\beta x)\right] &\text{ for integer }\alpha \\ \\ x^\alpha\left[AJ_\alpha(\beta x)+BJ_{-\alpha}(\beta x)\right] &\text{ for noninteger }\alpha \end{cases} $$ Lo que me gustaría saber es si en lugar de ser la ecuación de Bessel sin modificar, la ecuación tuviera la forma de la ecuación de Bessel modificada como se muestra a continuación, ¿cuáles serían las soluciones? $$ \frac{d^2 y}{dx^2}+\frac{1-2\alpha}{x}\frac{dy}{dx}-\beta^2y=0 $$ Una búsqueda rápida en wolframalpha me dice que podrían tener este aspecto: $$ y= \begin{cases} x^\alpha\left[AJ_\alpha(-i\beta x)+BY_\alpha(-i\beta x)\right] &\text{ for integer }\alpha \\ \\ x^\alpha\left[AJ_\alpha(-i\beta x)+BJ_{-\alpha}(-i\beta x)\right] &\text{ for noninteger }\alpha \end{cases} $$ Podrían entonces traducirse a las funciones de Bessel modificadas así: $$ y= \begin{cases} x^\alpha\left[CI_\alpha(\beta x)+DK_\alpha(\beta x)\right] &\text{ for integer }\alpha \\ \\ x^\alpha\left[CI_\alpha(\beta x)+DI_{-\alpha}(\beta x)\right] &\text{ for noninteger }\alpha \end{cases} $$

Cualquier idea que pueda aportar será muy apreciada, ¡gracias!

Answer 1

Sí. Si partimos de \begin{equation} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1-2\alpha}{x} \frac{dy}{dx} - \beta^2 y = 0, \end{equation} escribimos $\beta^{\alpha} y = \xi^{\alpha} z(\xi)$ con una nueva variable independiente $\xi = \beta x$ y con una nueva variable dependiente $z$ . Calculando las dos primeras derivadas de $y$ por las reglas del producto y de la cadena da como resultado \begin{eqnarray} \beta^{\alpha} \frac{dy}{dx} &=& \alpha \xi^{\alpha-1} \beta z + \xi^{\alpha} \beta \frac{dz}{d\xi},\\ \beta^{\alpha} \frac{d^2y}{dx^2} &=& \alpha(\alpha-1) \xi^{\alpha-2} \beta^2 z + 2 \alpha \xi^{\alpha-1} \beta^2 \frac{dz}{d\xi} + \xi^{\alpha} \beta^2 \frac{d^2z}{d\xi^2}. \end{eqnarray} Ahora obtenemos \begin{eqnarray} 0 &=& \beta^{\alpha} \left( \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1-2\alpha}{x} \frac{dy}{dx} - \beta^2 y \right) = \beta^{\alpha} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1-2\alpha}{\xi} \beta \beta^{\alpha} \frac{dy}{dx} - \beta^2 \beta^{\alpha} y\\ &=& \dots = \xi^{\alpha-2} \beta^2 \left( \xi^2 \frac{d^2z}{d\xi^2} + \xi \frac{dz}{d\xi} - (\xi^2 + \alpha^2) z \right). \end{eqnarray} Así que ahora tenemos la ecuación de Bessel modificada $\xi^2 \frac{d^2z}{d\xi^2} + \xi \frac{dz}{d\xi} - (\xi^2 + \alpha^2) z = 0$ para $z$ y un sistema fundamental de soluciones viene dado por $\{I_{\alpha}(\xi),K_{\alpha}(\xi)\}$ para cualquier valor de $\alpha$ o por $\{I_{\alpha}(\xi),I_{-\alpha}(\xi)\}$ , si $\alpha \not \in \mathbb{Z}$ .

Transformando hacia atrás obtenemos $y(x) = \beta^{-\alpha}(\beta x)^{\alpha} z(\beta x) = x^{\alpha} z(\beta x)$ .

Lo único que no me gusta de la notación de Wolfram es que puede ser malinterpretada de la manera que $\{I_{\alpha}(\xi),K_{\alpha}(\xi)\}$ es un sistema fundamental de soluciones sólo si $\alpha \in \mathbb{Z}$ Lo cual no es cierto.