Expresando $-\operatorname{adj}(A)$ como un polinomio en $A$ ?

Question

Supongamos que $A\in R^{n\times n}$ , donde $R$ es un anillo conmutativo. Sea $p_i \in R$ sean los coeficientes del polinomio característico de $A$ : $\operatorname{det}(A-xI) = p_0 + p_1x + \dots + p_n x^n$ .

Estoy buscando una prueba de que $-\operatorname{adj}(A) = p_1 I + p_2 A + \dots + p_n A^{n-1}$ .

En el caso de que $\operatorname{det}(A)$ es una unidad, $A$ es invertible, y la prueba se desprende del teorema de Cayley-Hamilton. Pero ¿qué pasa con el caso en el que $A$ no es invertible?

Answer 1

EDICIÓN DE AGOSTO 31, 2010. La demostración del Teorema de Cayley-Hamilton que más me gusta (entre las que conozco) está en página 21 (prueba de la Proposición 2.4) de Introducción al álgebra conmutativa por Atiyah y MacDonald. El argumento puede formularse de la siguiente manera.

Dejemos que $K$ sea un anillo conmutativo; sea $n$ sea un número entero positivo; sea $A=(a_{ij})\in M_n(K)$ ser un $n$ por $n$ con entradas en $K$ ; deja que $\chi$ sea su polinomio característico; defina $B=(b_{ij})\in M_n(K[A])$ por $b_{ij}:=\delta_{ij}\,A-a_{ij}$ ; deja que $(e_i)$ sea la base canónica de $K^n$ observar $$\sum_i\, \, b_{ij}\, e_i=0,\quad\det B=\chi(A);$$ y escribir $(c_{ij})$ para el adjunto de $B$ . Aplicando (un caso trivial del) Teorema de Fubini a la suma doble $\sum_{i,j}\, c_{jk}\, b_{ij}\, e_i$ obtenemos $\chi(A)=0$ .

Muchas gracias a darij grinberg ¡! [Dejo las ediciones anteriores "para que conste"]. FIN DE LA EDICIÓN DE AGOSTO 31, 2010.

EDICIÓN DE DIC. 11, 2010. Para una buena aplicación del Teorema de Cayley-Hamilton, véase esto respuesta por Balazs Strenner .

EDICIONES ANTERIORES:

Aquí hay una prueba del Teorema de Cayley-Hamilton.

Dejemos que $K$ sea un anillo conmutativo, sea $n$ sea un número entero positivo, y que $X$ sea un indeterminado, dejemos que $A\in M_n(K)$ ser un $n$ por $n$ con coeficientes en $K$ y que $\chi:=\det(X-A)$ sea el polinomio característico. Equipa $K^n$ con el $K[X]$ -estructura modular inducida por $A$ . Debemos comprobar $\chi K^n=0$ . Formar el derecho $M_n(K[X])$ -Módulo $$H:=\mathrm{Hom}_{K[X]}(K[X]^n,K^n).$$ Dejemos que $e\in H$ sea la evaluación en $A$ (nota $K[X]^n=K^n[X]$ ). Como $e$ es suryente, basta con demostrar que $e\chi=0$ . Como $X-A$ divide $\chi$ a la izquierda, basta con mostrar $e(X-A)=0$ . Pero esto es obvio.

EDICIÓN DE AGOSTO 1, 2010. Aquí es una reescritura diagramática del argumento.

EDICIÓN DE AGOSTO. 30, 2010. He aquí una versión coordinada del argumento anterior. [Compárese con la prueba de la proposición 3 página 81 de Weil Teoría básica de los números y con la prueba de la proposición 2.4 página 21 de Introducción al álgebra conmutativa por Atiyah y MacDonald].

La formulación de Weil. Poner $$B(X)=(b_{ij}(X)):=X-A\in M_n(K[X]),$$ y que $C(X)=(c_{ij}(X))$ sea el adjunto de $B(X)$ . Tenemos $$\sum_j\ c_{jk}(X)\ b_{ij}(X)=\delta_{ik}\ \chi(X)\in K[X].$$ Sustitución de $X$ con $A$ , evaluando el $e_i$ (el $i$ -vector de la base canónica de $K^n$ ), y sumando sobre $i$ da $$\sum_j\ c_{jk}(A)\ \sum_i\ b_{ij}(A)\ e_i=\chi(A)\ e_k\in K^n.$$ Pero la segunda suma es 0 por definición de $b_{ij}(X)$ .

La formulación de Atiyah-MacDonald. Poner $A=(a_{ij})$ y definir $B=(b_{ij})\in M_n(K[A])$ por $b_{ij}:=\delta_{ij}A-a_{ij}$ observar $$\sum_i\, b_{ij}\, e_i=0,\quad\det B=\chi(A);$$ y escribir $(c_{ij})$ para el adjunto de $B$ . Informática $\sum_{i,j}\,c_{jk}\,b_{ij}\,e_i$ de dos maneras obtenemos $\chi(A)=0$ .