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Expresando adj(A) como un polinomio en A ?

Supongamos que ARn×n , donde R es un anillo conmutativo. Sea piR sean los coeficientes del polinomio característico de A : det(AxI)=p0+p1x++pnxn .

Estoy buscando una prueba de que adj(A)=p1I+p2A++pnAn1 .

En el caso de que det(A) es una unidad, A es invertible, y la prueba se desprende del teorema de Cayley-Hamilton. Pero ¿qué pasa con el caso en el que A no es invertible?

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Jonathan Puntos 286

EDICIÓN DE AGOSTO 31, 2010. La demostración del Teorema de Cayley-Hamilton que más me gusta (entre las que conozco) está en página 21 (prueba de la Proposición 2.4) de Introducción al álgebra conmutativa por Atiyah y MacDonald. El argumento puede formularse de la siguiente manera.

Dejemos que K sea un anillo conmutativo; sea n sea un número entero positivo; sea A=(aij)Mn(K) ser un n por n con entradas en K ; deja que χ sea su polinomio característico; defina B=(bij)Mn(K[A]) por bij:=δijAaij ; deja que (ei) sea la base canónica de Kn observar ibijei=0,det y escribir (c_{ij}) para el adjunto de B . Aplicando (un caso trivial del) Teorema de Fubini a la suma doble \sum_{i,j}\, c_{jk}\, b_{ij}\, e_i obtenemos \chi(A)=0 .

Muchas gracias a darij grinberg ¡! [Dejo las ediciones anteriores "para que conste"]. FIN DE LA EDICIÓN DE AGOSTO 31, 2010.

EDICIÓN DE DIC. 11, 2010. Para una buena aplicación del Teorema de Cayley-Hamilton, véase esto respuesta por Balazs Strenner .

EDICIONES ANTERIORES:

Aquí hay una prueba del Teorema de Cayley-Hamilton.

Dejemos que K sea un anillo conmutativo, sea n sea un número entero positivo, y que X sea un indeterminado, dejemos que A\in M_n(K) ser un n por n con coeficientes en K y que \chi:=\det(X-A) sea el polinomio característico. Equipa K^n con el K[X] -estructura modular inducida por A . Debemos comprobar \chi K^n=0 . Formar el derecho M_n(K[X]) -Módulo H:=\mathrm{Hom}_{K[X]}(K[X]^n,K^n). Dejemos que e\in H sea la evaluación en A (nota K[X]^n=K^n[X] ). Como e es suryente, basta con demostrar que e\chi=0 . Como X-A divide \chi a la izquierda, basta con mostrar e(X-A)=0 . Pero esto es obvio.

EDICIÓN DE AGOSTO 1, 2010. Aquí es una reescritura diagramática del argumento.

EDICIÓN DE AGOSTO. 30, 2010. He aquí una versión coordinada del argumento anterior. [Compárese con la prueba de la proposición 3 página 81 de Weil Teoría básica de los números y con la prueba de la proposición 2.4 página 21 de Introducción al álgebra conmutativa por Atiyah y MacDonald].

La formulación de Weil. Poner B(X)=(b_{ij}(X)):=X-A\in M_n(K[X]), y que C(X)=(c_{ij}(X)) sea el adjunto de B(X) . Tenemos \sum_j\ c_{jk}(X)\ b_{ij}(X)=\delta_{ik}\ \chi(X)\in K[X]. Sustitución de X con A , evaluando el e_i (el i -vector de la base canónica de K^n ), y sumando sobre i da \sum_j\ c_{jk}(A)\ \sum_i\ b_{ij}(A)\ e_i=\chi(A)\ e_k\in K^n. Pero la segunda suma es 0 por definición de b_{ij}(X) .

La formulación de Atiyah-MacDonald. Poner A=(a_{ij}) y definir B=(b_{ij})\in M_n(K[A]) por b_{ij}:=\delta_{ij}A-a_{ij} observar \sum_i\, b_{ij}\, e_i=0,\quad\det B=\chi(A); y escribir (c_{ij}) para el adjunto de B . Informática \sum_{i,j}\,c_{jk}\,b_{ij}\,e_i de dos maneras obtenemos \chi(A)=0 .

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