Resolver y dibujar una función trigonométrica para un conjunto de datos de temperaturas mensuales?

Question

Este es el conjunto de datos en cuestión, es un conjunto de temperaturas medias mensuales del aire en una ciudad croata, el nombre de la ciudad es Osijek: \begin{bmatrix} (1)Jan &(2)Feb &(3)Mar &(4)Apr &(5)May &(6)Jun \\ -0.9^{\circ}C&1.1^{\circ}C &6.1^\circ C &11.4^{\circ}C &16.4^{\circ}C &19.7 ^{\circ}C \\ (7)Jul&(8)Aug &(9)Sep &(10)Oct &(11)Nov &(12)Dec \\ 21.5^{\circ}C&20.7 ^{\circ}C &16.7 ^{\circ}C &11.2 ^{\circ}C &5.6^{\circ}C &1.3^{\circ}C \end{bmatrix}

Se nos da la función que tenemos que resolver utilizando este conjunto de datos, $$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+D$$ (No estoy muy seguro de si la D al final de la ecuación debería estar ahí) También se nos da que P, que es el periodo de esta función es $P=12$ . Debemos encontrar todas las variables desconocidas, $A, \omega,\varphi,D$ . También debemos dibujar esta función. He tratado de resolver este sistema pero sin éxito. Si alguien puede ayudar, o sugerir un curso de acción, sería muy apreciado. Gracias a todos

ACTUALIZACIÓN: He conseguido resolverlo encontrando algunas conexiones entre los datos de la tabla y la fórmula. He conseguido que A sea la amplitud, es decir, la altura máxima de la onda, la forma de calcularla es $A=\frac{(max \ value\ of \ data)-(min\ data\ value)}{2}=\frac{21.5-(-0.9)}{2}=11.2$ la fórmula del período es $P=\frac{2\pi}{\omega}$ , lo que da, ya que $P=12$ que $\omega=\frac{\pi}{6}$ . También para $D$ la fórmula es, $D=\frac{max\ value+ min\ value}{2}=10.3$ . Ahora, casi tenemos todo. Acabo de insertar en la fórmula de la función al principio todos estos números y luego calcular $\varphi$ de eso $$f(1)=-0.9=11.2*sin(\frac{\pi}{6}*1+\varphi)+10.3\Rightarrow$$ $$-1=sin(\frac{\pi}{6}+\varphi) / sin^{-1}$$ $$sin^{-1}(-1)=\frac{\pi}{6}+\varphi\Rightarrow$$ De ello se desprende que $\varphi=\frac{4\pi}{3}$ . Ahora, la función es la siguiente $\Rightarrow$ $$f(x)=11.2*sin(\frac{\pi}{6}*x+\frac{4\pi}{3})+ 10.3$$

En mi cuaderno, el que dibujé, resultó más o menos igual que en el programa de trazado.

Answer 1

Primero rellene esta tabla (con los senos y cosenos en radianes, o si no utilice grados pero ponga $180$ en lugar de $\pi$ donde se ve $\pi$ abajo): $$ \begin{array}{cccc} \text{month} & \text{temperature} & \cos(\pi\times\text{month}/6) & \sin(\pi\times\text{month}/6) \\ \hline 1 & -0.9 & 0.866 & 0.500 \\ 2 & \phantom{+}1.1 & 0.500 & 0.866 \\ 3 & \phantom{+}6.1 & 0.000 & 1.000 \\ 4 & \phantom{+}11.4 & \cdots & \cdots \\ 5 & \cdots & \cdots & \cdots \\ \vdots \end{array} $$ A continuación, utilice el software de regresión lineal para ajustar el modelo $$ \text{temperature} = \text{constant} + E\cos(\cdots) + F\sin(\cdots) $$ con los datos de la tabla anterior.

El uso de una identidad trigonométrica: $$ E\cos(\omega x) + F\sin(\omega x) = \sqrt{E^2 + F^2} \, \sin(\omega x + \varphi) $$ con $\sin\varphi= E/\sqrt{E^2+F^2}$ y $\cos\varphi = F/\sqrt{E^2+F^2}.$

Tenga en cuenta que $\omega x$ debe ir de $0$ a $2\pi\text{ radians}$ o a $180^\circ$ como $x$ va de $0$ a $12,$ así que $\omega = \dfrac\pi6 \text{ radians}$ o $\omega = \dfrac{180^\circ} 6.$