Encontrando $E(X^2)$ para el pdf dado

Question

Dejemos que $X$ se distribuirá según el pdf $$ke^{x^27x}.$$ Encuentre $E(X^2)$ .

¿Puede alguien ayudarme con este tema?

Sé que tengo que convertirlo en una distribución normal pero estoy confundido aquí total amablemente alguien me ayude. Aquí es una imagen de la pregunta.

Answer 1

Ya que tienes el pdf, debemos tener $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty k e^{-x^2-7x} dx = 1$

Comparémoslo con el pdf de la Distribución Normal.

$e^{-x^2-7x} = \left(e^{\frac{49}{4}}\right)e^{- \left(x - (-\frac{7}{2})\right)^2}$

En concreto, compara $e^{- \left(x - (-\frac{7}{2})\right)^2}$ y $e^{-\frac{(x -\mu)^2}{2 \sigma^2}}$

Por lo tanto, podemos elegir $\mu = -\frac{7}{2}$ y $\sigma = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$E(X^2) = \mu^2 + \sigma^2 = \frac{51}{4} = 12.75$

[También hay que tener en cuenta que $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x -\mu)^2}{2 \sigma^2}}dx = 1 = \displaystyle \int_{-\infty}^\infty k e^{-x^2-7x} dx$

Comparando, $k = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-\frac{49}{4}}$ ]