¿Puede alguien decirme cómo funciona esta suma? He intentado simplificar usando la progresión geométrica. Pero no he podido
Gracias
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Echa un vistazo al siguiente cálculo. $$ \begin{align} \sum_{i=0}^{k-1}i2^i & = \sum_{i = 0}^{k-1}2^i\sum_{j=0}^{i-1}1 \\ & = \sum_{0\leq j < i\leq k-1}2^i \\ & = \sum_{j = 0}^{k-1}\sum_{i=j+1}^{k-1}2^i \\ & = \sum_{j = 0}^{k-1}2^{j+1}\sum_{i = 0}^{k-2-j}2^i \\ & = \sum_{j = 0}^{k-1}2^{j+1}(2^{k-j-1}-1) \\ & = \sum_{j = 0}^{k-1}(2^k-2^{j+1}) \\ & = k2^k - \sum_{j = 1}^k 2^j \\ & = (k-1)2^k - \sum_{j = 1}^{k-1} 2^j \end{align} $$ La clave es expresar el factor $i$ como $\sum_{j=0}^{i-1}1.$ Entonces obtenemos una suma doble y podemos intercambiar el orden de las sumas. Entonces podemos utilizar las progresiones genómicas.
