En el enfoque variacional de la estimación de la energía del estado básico de un sistema, elegimos una función propia aproximada que depende de ciertos parámetros y luego minimizamos el valor de la expectativa de la energía con respecto a estos parámetros. ¿Existe un enfoque general para seleccionar estas funciones propias aproximadas? Además, si no conocemos la energía real en primer lugar, ¿cómo podemos incurrir en que el valor propio aproximado se acerque al valor real?
Respuesta
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R. Romero
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A la hora de seleccionar una solución de prueba, los casos de prueba que se prueben podrían verse facilitados por un proceso de dos pasos.
Paso 1: Averigüe qué problema estándar coincide con el suyo FÍSICAMENTE. Por ejemplo, ¿tu sistema está acotado? ¿Es el límite completo como en el caso del pozo de potencial infinito en el que nada puede salir de una región designada? ¿Cuál es la simetría de su sistema? En estos casos puede que quieras basar las soluciones de prueba en el pozo cuadrado infinito, o en el pozo esférico infinito, dependiendo de la geometría y la simetría.
Si estás tratando con oscilaciones, probablemente quieras alguna variación de las soluciones del Oscilador Armónico Simple de QM. Si tienes un potencial cuadrado inverso, querrás buscar soluciones de prueba del átomo de hidrógeno.
Tenga en cuenta la paridad de su modelo. Es posible que quiera restringir sus soluciones de prueba a las funciones pares o Impares de su modelo base.
Paso 2: Ahora que ha seleccionado la base física que va a utilizar y ha determinado sus requisitos geométricos y de simetría/paridad, puede considerar las versiones MATEMÁTICAS simplificadas de esas soluciones. Normalmente, querrá reemplazar las soluciones con una aproximación polinómica decente.
Por ejemplo, el estado básico del pozo cuadrado infinito es 0 en los extremos, tiene un pico en el centro y tiene una simetría par en torno a su línea de simetría. y=Ax(L/2-x) hace exactamente esto siendo sólo una función polinómica.
En el caso del Pozo Esférico Infinito, necesitarás alguna aproximación matemática a las primeras funciones esféricas de Bessel. No recuerdo a mano, pero hay algunas aproximaciones polinómicas estándar para estas.
Si se trata de cualquier sistema que oscila, puede acercarse a una solución de estado base seleccionando funciones de prueba de las soluciones del oscilador armónico simple. Para ello, primero hay que encontrar la "constante de resorte", que es aproximadamente la segunda derivada del potencial con respecto a las coordenadas espaciales, evaluada cerca del punto de equilibrio. Así que tus candidatos a prueba son los polinomios de Hermite veces $e^{-px^2}$ para algún parámetro p que represente su energía base.
Preocupación por la energía: Normalmente se sabe algo sobre la energía del sistema a partir del potencial. La energía total no puede ser menor que el mínimo de su potencial. Si su energía es mucho mayor que el máximo de su potencial, digamos de cinco a diez veces más, apenas tiene potencial, lo que le permite aproximar el potencial con una Función de Prueba antes de aplicar un análisis más profundo. Tu "constante de resorte" es proporcional a la segunda derivada de tu potencial donde la primera derivada es cero, llámala $k$ .
Si tienes una escala de longitud característica, digamos el radio de tu esfera de interés, $r_0$ una energía útil podría ser del orden de $\frac{1}{2}kr_0^2$ .
Por el Principio de Incertidumbre se puede asociar a una longitud característica, un momento de $p_0=\hbar/l$ que corresponde aproximadamente a la energía de $p_0^2/2m$ . Esta aproximación es increíblemente precisa para el estado básico del oscilador armónico.
