Escribir $a^2b^0c^0+a^0b^2c^0+a^0b^0c^2+a^1b^1c^0+a^1b^0c^1+a^0b^1c^1$ utilizando $\sum$ ?

Question

$$a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc$$ $$=a^2b^0c^0+a^0b^2c^0+a^0b^0c^2+a^1b^1c^0+a^1b^0c^1+a^0b^1c^1$$

He estado jugando con algunas cosas de probabilidades y esto ha aparecido. No he podido averiguar cómo escribirlo en forma de suma para poder generalizarlo cuando la suma de los exponentes no sea sólo 2.

Answer 1

$$\sum_{\substack{i,j,k\ge0\\ i+j+k=2}}\mkern-9mua^i b^j c^k$$ parece ser lo que buscas.

Answer 2

Llamemos a los elementos $a_1,a_2$ et $a_3$ en lugar de $a,b$ et $c$ . Entonces podemos escribir $$\sum_{\substack{i_1,i_2,i_3\ge0\\ i_1+i_2+i_3=2}}\mkern-9mu a_1^{i_1} a_2^{i_2} a_3^{i_3}$$ por la suma que le corresponde. La razón para cambiar el nombre de los elementos es que también se puede establecer en términos de notación multi índice entonces si quieres.

Edición: Permítanme explicar esto último. Si escribimos $a = (a_1,a_2,a_3)$ et $i = (i_1,i_2,i_3)$ y considerar $a^i$ como $a_1^{i_1} a_2^{i_2} a_3^{i_3}$ (por lo que trabajamos por entradas), entonces podemos expresar la suma como $$\sum_{i \in \mathbb{N}_2^3} a^i,$$ donde $\mathbb{N}_2^3 = \lbrace (i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N}^3 \mid i_1 +i_2 +i_3 = 2 \rbrace$ .

Answer 3

Por ejemplo: intente $$\sum \{ a^ib^jc^k: i,j,k \in \Bbb N, i+j+k=2\}$$

Pero, ¿qué se gana escribiendo esa expresión de esta manera?

Answer 4

Considere

$$\frac12\left(\sum_i x_i\right)^2+\frac12\sum_i x_i^2.$$

Sin embargo, esto no se generalizará fácilmente.