La transformada de Fourier no es más que una operación sobre determinadas funciones. Cuando las funciones son señales, ¿por qué la variable elegida (w) tiene que corresponder a la frecuencia de la señal, cuando es sólo una variable?
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sonicli
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¡y bienvenido! Tienes razón en que la transformada de Fourier no es más que una operación matemática que puedes realizar sobre cualquier función. Puedes realizar una transformada de Fourier en el espacio (tomar la transformada de Fourier de una imagen, por ejemplo), sobre tensiones en función del tiempo, tomar la transformada de Fourier de alguna ecuación diferencial, etc.
La razón por la que \$\omega\$ corresponde a la frecuencia angular cuando se aplica a una señal en el dominio del tiempo proviene de los detalles de las matemáticas. La transformada de Fourier de una señal \$f(t)\$ se puede escribir como:
$$ F(\omega) = \int f(t) e^{-i\omega t}\, dt $$
¿qué significa eso? Bueno, puedes escribir \$ e^{-i\omega t}= \cos(\omega t)-i\sin(\omega t)\$ (regla de Euler), entonces se empieza a ver claramente lo que \$\omega\$ significa.
Cuando \$\omega t = 2 \pi\$ entonces \$\cos\$ et \$ sin\$ habría pasado un ciclo completo. Así que la cantidad de tiempo para un ciclo completo (el período) es: $$ T_P = \frac{2 \pi}{\omega} $$
Así que ese es el número de segundos por ciclo. Entonces se puede encontrar el número de ciclos por segundo (la frecuencia en Hz):
$$ f = \frac{1}{T_P}=\frac{\omega}{2\pi} $$
Por eso el \$\omega\$ de la transformada de Fourier de una señal es la frecuencia angular ( \$\omega\$ ). Que se relaciona con la frecuencia en Hz utilizando la ecuación anterior.
bperdue
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276
Históricamente, el análisis de Fourier afirmaba que cualquier función de una variable, ya sea continua o discontinua, puede escribirse como una serie de senos con múltiples variables. Creo que ahí es donde entra en escena el término frecuencia. @KD9PDP ha explicado muy bien la formulación matemática.
