Demuestre que dos matrices son conjugadas en $GL_2(\mathbb{C})$

Question

Dejemos que $GL_2(\mathbb{C})$ sea el grupo de matrices invertibles de dos en dos sobre los números complejos, siendo la multiplicación de matrices la operación de grupo.

Pregunta: Demuestra que $\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}$ es conjugado con $\begin{bmatrix}i & 0 \\ 0 & -i\end{bmatrix}$ ,

es decir, existe $A \in GL_2(\mathbb{C})$ tal que $A \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix} A^{-1} = \begin{bmatrix}i & 0 \\ 0 & -i\end{bmatrix}$ .

Puede que sea una tontería, pero no consigo averiguar cómo provocar el "cambio de orientación" cuando estoy conjugando. He intentado conjugar con $\begin{bmatrix}0 & 1 \\ i & 0\end{bmatrix}$ et $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & i\end{bmatrix}$ y ninguno de ellos funciona.

Lo ideal sería saber no sólo la solución, sino por qué la solución funciona.

Answer 1

Observa que la segunda matriz dada es diagonal, por lo que puedes pensar en ella como el resultado de diagonalizar la primera. Así que todo lo que tienes que hacer es utilizar el procedimiento estándar para diagonalizar la primera matriz: ya conoces sus valores propios (los valores propios comunes de ambas matrices se ven claramente en la segunda), y sólo necesitas encontrar los vectores propios correspondientes.

Answer 2

Bien, sólo procesa el algoritmo de diagonalización.

O bien, otro método tedioso es simplemente calcular $$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} = \mathrm {diag(\mathrm i, \mathrm -i)} $$ donde $ad-bc = 1$ y luego resolverlo para $a, b,c ,d \in \mathbb C$ . Puede que no funcione [ya que puede obtener ecuaciones duplicadas, lo que significa que las restricciones serían flojas y la solución es más difícil de encontrar], pero es la forma directa, y funciona para otras matrices.