Probando la desigualdad de Sylvester

Question

He intentado demostrar la desigualdad de Sylvester. $$rank(A)+rank(B)\leq n+rank(AB)$$

He estado consultando otras pruebas en este sitio, pero todas ellas implican conceptos y teoremas con los que no estoy familiarizado, así que sigo teniendo problemas.

Hasta ahora, he demostrado que $rank(AB) \le rank(A)$ et $rank(AB) \le rank(B)$ . También he reescrito la desigualdad como $ker(A)+ker(B) \ge ker(AB)$ pero parece que no puedo pasar de este punto. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Puedes evitar el uso de teoremas "avanzados" si realizas los siguientes pasos:

Dejemos que $A$ sea $m\times n$ matriz y $B$ sea $n\times k$ matriz.

1. Demostrar que $$ \operatorname{rank}\begin{bmatrix}I_n & 0\\0 & AB\end{bmatrix}=n+\operatorname{rank}(AB). $$
2. Demostrar que $$ \operatorname{rank}\begin{bmatrix}I_n & 0\\0 & AB\end{bmatrix}=\operatorname{rank}\begin{bmatrix}I_n & B\\A & 0\end{bmatrix} $$ utilizando, por ejemplo $$ \begin{bmatrix}I_n & B\\A & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_n & 0\\A & I_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_n & 0\\0 & AB\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_n & B\\0 & -I_k\end{bmatrix}. $$
3. Demostrar que $$ \operatorname{rank}\begin{bmatrix}I_n & B\\A & 0\end{bmatrix}\ge \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B). $$

El último paso se puede hacer fácilmente si se demuestra que las columnas de la matriz de bloques correspondientes a las columnas lineales independientes de $A$ y la de $B$ son linealmente independientes en su conjunto. Todo lo que necesitas aquí es la definición de vectores lineales independientes.