¿Por qué es $\{(0,0,0), (1,0,0)\}$ sin retracción de $\mathbb{R^3}$

Question

¿Por qué es $\{(0,0,0), (1,0,0)\}$ sin retracción de $\mathbb{R^3}$

Estoy haciendo ejercicio y en la solución la digo:

Supongamos que hubo una retracción $r:X \to \{(0,0,0), (1,0,0)\} =: A$ entonces r es suryente, por lo que $\pi_0(r): \pi_o (\mathbb R^3) = \{0\} \to \pi_o(A) = \{0,1\}$ es también suryectiva, lo cual es imposible.

¿Qué es? $\pi_o$ ? No puedo seguir esa última línea del argumento, ya que no sé de qué se trata.

Si alguien tiene otra explicación de por qué, $\{(0,0,0), (1,0,0)\}$ no es ninguna retractación, es bienvenido a dar esa explicación.

Answer 1

$\pi_0(R^3)$ contiene un elemento y $\pi_0(\{(0,0,0);(1,0,0)\}$ contiene dos elementos distintos por lo que no se puede tener un mapa suryectivo de un conjunto que contiene un elemento a un conjunto que contiene dos elementos.

N.B. $\pi_0(X)$ está en biyección con las componentes conectadas de $X$ .