Existencia del espacio de móduli fino para curvas y curvas elípticas

Question

1. Para los módulos problema de una curva de género $g$ $n$ puntos marcados, cuán grande es el $n$ es necesario para garantizar la existencia de un fino espacio de moduli? Para esta pregunta, la terminología es el de Mumford del GIT.

2. Para los siguientes tres módulos de problemas, ¿qué $N$ es necesario para la existencia de un fino espacio de moduli? La terminología es de los expone de Deligne-Rapoport y Katz-Mazur, o Shimura. La primera es en francés, el segundo es demasiado grande, y el tercero es el uso de idioma antiguo y nunca menciona la terminología moderna universal de la curva elíptica, etc.. por lo Tanto no es posible para mí para desenterrar la información a mí mismo.

i) curvas Elípticas equipado con un subgrupo cíclico de orden $N$ -- esta módulos problema corresponde a la estructura modular del grupo $\Gamma_0(N)$.

ii) curvas Elípticas equipado con un punto de orden $N$ -- esta módulos problema corresponde a la estructura modular del grupo $\Gamma_1(N)$.

ii) curvas Elípticas equipado con un simpléctica de emparejamiento en $N$-torsión puntos -- esta módulos problema corresponde a la estructura modular del grupo $\Gamma (N)$.

Referencias distintas de las anteriores, será apreciado.

Answer 1

La primera es irrepresentable para arbitrario de un gran $N$ (depende de la clase de residuo $N$ mod 12), la segunda es representatble para $N \geq 4$ (si usted está considerando la $Y_1(N)$) o $N \geq 5$ (si usted está considerando la $X_1(N)$, es decir, incluyendo las cúspides), la tercera es representable por $N \geq 3$.

Las referencias que se mencionan son la norma. Probablemente Silverman habla de estas en sus libros en algún lugar demasiado (tal vez el 2º). Si usted mira en Bruto del Duque de papel de compañero de formas (Un tameness criterio ... ) encontrará un resumen de la historia para $X_1(N)$. En el $\Gamma_0(N)$ de los casos, Mazur tiene una cuidadosa discusión en el comienzo de la sección 2 de su Eisenstein ideal de papel. Bruto y Mazur referirse a Deligne--Rapoport para las pruebas.

También es sólo una cuestión de la computación de la torsión en cada una de las $\Gamma$'s (además de epsilon más si se quiere entender la representatividad en las cúspides), que es un ejercicio. (Aunque hay que hacer un poco de trabajo para ver por qué esto es necesario el cálculo.)

Answer 2

Si quieres trabajar sobre una base de anillo como $\mathbf{Z}[1/n]$ más que sobre los $\mathbf{Q}$ o $\mathbf{C}$, la correspondiente numérico condición es que la parte de $N$ coprime a $n$ no ser "demasiado pequeño" en el $\Gamma_1$ y el nivel total de los casos. Para un ejemplo extremo, si $N$ $p$- energía y trabajo a lo largo de $\mathbf{Z}_{(p)}$ entonces siempre vas a tener problemas en el carácter $p$ en el supersingular puntos.

Por otro lado, si usted está dispuesto a ir más allá de los esquemas y trabajar con algebraicas, espacios o Deligne-Mumford o Artin pilas, a continuación, estos problemas desaparecen (a expensas de más antecedentes técnicos) en el sentido de que uno tiene un razonable "espacio de moduli" $\mathbf{Z}$ con buena regularidad de las propiedades de $N$ (incluso la incorporación de degeneraciones en el sentido generalizado de curvas elípticas con el nivel de la estructura). Tiene mejores propiedades que un grueso espacio de moduli (aparte de tal vez no ser un esquema...).

Answer 3

Aquí es un pensamiento en la primera pregunta. Lo que usted necesita saber (al menos para obtener una expresión algebraica de espacio, voy a dejar a los demás ser más cuidadoso que yo si desea un esquema) es la gran n ha de ser que un automorphism de un suave género g de la curva de X que fija los puntos n debe ser la identidad. Sea G ser el grupo cíclico generado por este automorphism: el mapa X -> X/G es totalmente ramificado en su n puntos fijos. Así que por Riemann-Hurwitz, g(X) [NO, 2g(X)-2, GRACIAS, BJORN) es, al menos, -2|G| n + (|G|-1). Si G es no trivial, en otras palabras, g es al menos n-4 [NO, 2g+2, GRACIAS, BJORN]. Así que creo que g+5 [NO, 2g+3, GRACIAS, BJORN] puntos marcados debería ser suficiente. Que esto es necesario, puede ser visto tomando g=2; en M_{2,6} usted tendrá un montón de loci con un extra de involución, parametrización un curvas cuyos puntos marcados son precisamente los puntos de Weierstrass.

[NO MÁS TARDE-NOCHE DE RIEMANN-HURWITZ: GRACIAS A BJORN PARA LA CORRECCIÓN DE ERRORES]