Encuentre el coeficiente binomial de $x^8$ en $(1+x^2-x^3)^9$

Question

Estaba tratando de resolverlo usando el teorema multinomial.

Estaba tratando de encontrar qué combinaciones podrían darme tal $x^8$

y llegué a la conclusión de que sólo ocurre cuando tomo $(x^2)^4$ o $(-x^3)^2*(x^2)^1$

por lo tanto: $\binom{9!}{0!*4!*0!} + \binom{9!}{0!*1!*2!}$

Me parece un número demasiado grande ¿qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Una comparación. Es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[x^n]$ para denotar el coeficiente de $x^n$ .

Teorema del multinomio:

\begin{align*} \color{blue}{[x^8]}&\color{blue}{\left(1+x^2-x^3\right)^9}\\ &=[x^8]\sum_{{k_1+k_2+k_3}\atop{k_1,k_2,k_3\geq 0}}\binom{9}{k_1,k_2,k_3}1^{k_1}\left(x^2\right)^{k_2}\left(-x^3\right)^{k_3}\\ &=[x^8]\sum_{{k_1+k_2+k_3}\atop{k_1,k_2,k_3\geq 0}}\binom{9}{k_1,k_2,k_3}(-1)^{k_3}x^{2k_2+3k_3}\\ &=\binom{9}{5,4,0}(-1)^0+\binom{9}{6,1,2}(-1)^2\tag{1}\\ &=\frac{9!}{5!4!0!}+\frac{9!}{6!1!2!}\\ &=126+252\\ &\,\,\color{blue}{=378} \end{align*}

Comentario:

• En (1) seleccionamos el coeficiente de $x^8$ . También observamos que la suma de las entradas de los índices inferiores del coeficiente multinomial es $9$ (es decir $5+4+0=6+1+2=9$ ).

Teorema del binomio (dos veces):

\begin{align*} \color{blue}{[x^8]}&\color{blue}{\left(1+x^2-x^3\right)^9}\\ &=[x^8]\sum_{k=0}^9\binom{9}{k}\left(x^2+x^3\right)^k\\ &=[x^8]\sum_{k=0}^9\binom{9}{k}x^{2k}\left(1+x\right)^k\\ &=\sum_{k=0}^4\binom{9}{k}x^{2k}[x^{8-2k}]\left(1+x\right)^k\tag{2}\\ &=\sum_{k=0}^4\binom{9}{k}\binom{k}{8-2k}\tag{3}\\ &=\binom{9}{3}\binom{3}{2}+\binom{9}{4}\binom{4}{0}\tag{4}\\ &=252+126\\ &\,\,\color{blue}{=378} \end{align*}

Comentario:

• En (2) aplicamos la regla $[x^{p-q}]A(x)=[x^p]x^qA(x)$ y establecer el límite superior de la suma en $4$ ya que el exponente de $x^{8-2k}$ es no negativo.

• En (3) seleccionamos el coeficiente de $x^{8-2k}$ .

• En (4) seleccionamos los términos no nulos de (3) observando que $\binom{p}{q}=\frac{p(p-1)\cdots(p-q+1)}{q!}=0$ si $q>p$ .

Answer 2

El coeficiente requerido debe ser

$$\binom90\binom94+\binom92\binom71$$

Utilizando la expansión binomial de $$((1+x^2)+(-x^3))^9$$

Answer 3

Usando el teorema multinomial deberías obtener después de tus cálculos correctos de las posibles combinaciones para obtener el exponente $8$ lo siguiente:

• Utilizando el código de colores: $\color{green}{1} + \color{blue}{x^2} \color{orange}{-x^3}$

$$\binom{9}{\color{green}{5},\color{blue}{4},\color{orange}{0}} + \color{orange}{(-1)^2}\binom{9}{\color{green}{6},\color{blue}{1},\color{orange}{2}} = \frac{9!}{5!\cdot 4! \cdot 0!} + \frac{9!}{6!\cdot 1! \cdot 2!} = \boxed{378}$$