¿Podemos concluir $\liminf_{n\to\infty}\operatorname E\left[1\wedge e^{X_n}\right]=0$ de $\liminf_{n\to\infty}X_n=-\infty$ ?

Question

Dejemos que $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ sea un proceso de valor real en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal A,\operatorname P)$ con $$\liminf_{n\to\infty}X_n=-\infty\;\;\;\text{almost surely}.\tag1$$ ¿Podemos concluir $$\liminf_{n\to\infty}\operatorname E\left[1\wedge e^{X_n}\right]=0?\tag2$$

Podemos observar que $\mathbb R\ni x\mapsto1\wedge x$ es continua de Lipschitz. Ahora, parece una especie de convergencia dominada, pero con $\liminf$ en lugar de $\lim$ . Otro enfoque podría ser observar que $$\operatorname E\left[1\wedge e^{X_n}\right]=\int_0^1\operatorname P\left[e^{X_n}\ge t\right]\:{\rm d}t\tag3.$$

EDITAR : Tal vez la afirmación sea más fácil de demostrar con mayor generalidad: Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sea acotado y continuo de Lipschitz con $$f(x)\xrightarrow{x\to-\infty}0.$$ Por $(1)$ Hay un aumento de la $(n_k)_{k\in\mathbb N}\subseteq\mathbb N$ con $$X_{n_k}\xrightarrow{k\to\infty}-\infty\;\;\;\text{almost surely}\tag4$$ y por lo tanto $$f\left(X_{n_k}\right)\xrightarrow{k\to\infty}0\;\;\;\text{almost surely}.\tag5$$ Desde $f$ está acotado, obtenemos $$\operatorname E\left[f\left(X_{n_k}\right)\right]\xrightarrow{k\to\infty}0\tag6$$ por convergencia dominada. ¿Es esto suficiente para concluir?

Answer 1

He aquí un contraejemplo: Dejemos que $Z_n$ sea una secuencia de variables aleatorias i.i.d. con $Z_n\sim\operatorname{Bernoulli}(\frac{1}{2})$ , y establecer $X_n = -n Z_n$ . Entonces $\liminf_{n\to\infty} Z_n = -\infty$ casi seguro, pero

$$\mathbb{E}[1 \wedge e^{X_n}] \geq \frac{1}{2} \quad \text{for all} \quad n \geq 1,$$

desde $\mathbb{P}(X_n = 0) = \frac{1}{2}$ . Cambiando el parámetro de la distribución Bernoulli, podemos obtener ejemplos con el límite inferior tan cercano a 1 como queramos.

La cuestión en su argumento es que la subsecuencia que realiza $f(X_{n_k}) \to -\infty$ no tiene por qué ser determinista en general. E incluso si $N_k$ es una elección medible de la subsecuencia para que $X_{N_k} \to -\infty$ casi seguro, no tenemos una buena manera de relacionar esto con la expectativa de $f(X_n)$ simplemente porque $N_k$ no es determinista.