Cómo construir una matriz de 3 por 3 con un eigespacio dado en la base estándar

Question

Tengo una gran dificultad para entender esta cuestión, necesito ayuda y espero que esto ayude a otros.

La pregunta es la siguiente: Supongamos que la matriz $F: \Bbb R^3 \rightarrow \Bbb R^3$ es una transformación lineal con un valor propio de 1 con un espacio propio respectivo de [(1,0,0) (0,1,0)] y un valor propio de 3 con un espacio propio de [(1,0,1)]. Definir $F$ en la base estándar

Así que he intentado varias cosas. He visto a 3blue1brown en youtube y explica bastante bien el tema de los valores propios, los vectores propios, los espacios propios y el cambio de base. Pensé que podría aplicar este conocimiento a esta pregunta.

Así es como leo la pregunta. Así que tenemos una matriz de 3 por 3 que es, digamos que pertenece a Bob, los vectores base de Bob (su (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)) es ( (1,0,0) (0,1,0) (3,0,3) ). Esta es ahora nuestra matriz de cambio de base.

y para traducir entre las bases' la fórmula para ello es $F \vec v = \vec u$ esto "traducirá" el vector de entrada $\vec v$ en lo que Bob realmente quería decir en nuestro idioma. Así que como yo lo veo $F \vec [1,0,0]$ (debería ser) $=\vec [1, 0, 0]$ y $F\vec[0,1,0] = \vec[0,1,0]$ y finalmente $F\vec[0,0,1] = \vec[3,0,3]$

pero esto es incorrecto y según la respuesta (y su solución que no es intuitiva) debería ser $F\vec[1,0,0] = \vec[1,0,0]$ , $F\vec[0,1,0] = \vec[0,1,0]$ y $F\vec[0,0,1] = F\vec[1,0,1] - F\vec[1,0,0]$ Entiendo el cálculo, pero no es intuitivo para mí.

¿Por qué mi solución es incorrecta? Es decir $F$ es nuestra matriz de cambio de base, ¿por qué no voy a poder introducir los vectores y obtener el vector escrito en nuestro idioma?

Además, por favor, explique la respuesta del libro de texto de forma intuitiva para ayudarme a mí y a los demás.

Muchas gracias.

((En una nota lateral también he jugado con la inversa. El inverso, como yo lo entiendo, está jugando la transformación a la inversa es decir, esto debería darnos el vector base pre-transformación, idk no me llevó a ninguna parte))

Answer 1

La definición de los vectores propios le permite saber cómo su mapa $F$ actúa sobre algunos vectores específicos, los vectores propios. De esta manera se sabe que si se toma de $\mathbb{R}^3$ los vectores $(1,0,0),(0,1,0)$ y $(1,0,1)$ serán mapeados a los mismos vectores (por algún escalar) en $\mathbb{R}^3$ . Los vectores propios, en efecto, son muy bueno vectores, porque forman una base para $\mathbb{R}^3$ , no el base estándar pero no por ello deja de ser una base. Con estas nociones ya podemos abordar su problema.

La definición de un $\lambda$ -El vector propio es el siguiente:

$\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ es un $\lambda$ -para el mapa lineal $$F:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$$ iif $$F(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{v}$$

Si tomamos como base para cualquiera de los dominios e imágenes de este mapa lineal los vectores propios, la matriz asociada para $F$ en esta base es la siguiente $$D=\left(\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{matrix}\right)$$ como puedes ver es una matriz diagonal con elementos los vectores propios tomados con su respectiva multiplicidad geométrica. Claramente ha encontrado una base en que la matriz asociada a $F$ es diagonal. Esto se llama diagonalización . A partir de esta matriz se puede volver a la matriz en base estándar aplicando una matriz de transformación de base que en este caso es la matriz que tiene como columnas los vectores propios asociados a su respectivo valor propio. Así, por definición, $$A=PDP^{-1}$$ donde $A$ es la matriz de $F$ en base estándar y $$P=\left(\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right)$$ the matrix of the eigenvectors. So, then $$A=\left(\begin{matrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&3\end{matrix}\right)$$ Te doy algunos enlaces donde puedes encontrar explicaciones útiles sobre este tema: Matriz diagonalizable y el teorema espectral

Editar

Obviamente hay mucho que hablar sobre este tema, he intentado ser lo más conciso posible auto no salirme por la tangente. Si tienes alguna otra duda puedes leer cualquier álgebra lineal. El tema de la diagonalización, el cambio de base y el teorema espectral son de importancia central en muchos campos, incluso en campos aplicados como la física, y es muy importante tener una idea firme de lo que está pasando. Si tuviera que dar un consejo sobre qué libro leer, diría "Álgebra lineal" de Serge Lang. Pero hay muchos libros valiosos por ahí, basta con hacer una simple búsqueda en Google

Answer 2

HINT

Recordemos que

$$D=P^{-1}F P \implies F=PFP^{-1}$$

con

$$P=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad D=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix}$$

Answer 3

He aquí una solución muy sencilla:

Denotando $e_1, e_2, e_3$ la base canónica, es necesario expresar $F(e_1), F(e_2)$ y $F(e_3)$ en la base canónica.

Para $F(e_1)$ y $F(e_2)$ es en las hipótesis, por lo que las dos primeras columnas son $$\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\0&0\end{matrix}\right.$$ Now, setting $u=e_1+e_3$, we know that $F(u)=F(e_1)+F(e_3)=3e_1+3e_3$, so $F(e_3)=2e_1+3e_3$, and we have the third column of the matrix, which is $$ \begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix}$$