Dejemos que $\rm{SL}_n$ sea el grupo lineal especial y que $\rm{Sym}_n$ sea el conjunto de todas las matrices simétricas de tamaño n. $\rm{SL}_n$ actúa sobre $(\rm{Sym}_n)^m$ por $g(A_1, \ldots , A_m)=(gA_1 g^{\rm T}, \ldots , g A_m g^{\rm T})$ . Claramente, en el caso de $m=1$ el anillo de invariantes está generado por $\det(A)$ . Pero, ¿cuáles son las invariantes de esta acción de grupo en general? ¿Existe una descripción fácil del anillo de invariantes, por ejemplo, dando los generadores?
Respuestas
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Si está dispuesto a sustituir $SL$ por $GL$ (por lo tanto sin el determinante) entonces este es un caso especial de un resultado mucho más general.
Aplicar la teoría del siguiente documento al carcaj con un vértice y $m$ bordes.
MR0958897 (90e:16048) Le Bruyn, Lieven; Procesi, Claudio
Representaciones semisimples de quivers.
Trans. Amer. Math. Soc. 317 (1990), nº 2, 585-598.
El caso especial que usted considera fue estudiado antes de esto. La referencia ya ha sido dada por Agol.
Dima Pasechnik
Puntos
5894
Para $n=2$ una respuesta es clásicamente conocida, véase Grace y Young, p.161, 139A . Probablemente también se conozca una explicación moderna de este resultado.
harris
Puntos
1
Esto forma parte de la teoría clásica de invariantes: el estudio de invariantes conjuntos de varias formas cuadráticas. Por lo que sé, estos anillos de invariantes sólo se conocen en algunos casos especiales. Ha habido trabajos de Turnbull y Todd para el $n=3$ caso. Un documento reciente sobre el tema que contiene referencias a la literatura clásica es La teoría de los invariantes de las formas cuadráticas ternarias revisada por Bruno Blind.
