¿Cómo encontrar este límite $f'(0)$?

Question

que $$f(x)=\int_{0}^{x}\cos{\dfrac{1}{t}}dt$$, Find the $ f'(0)$

desde $$f'(0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\int_{0}^{x}\cos{\dfrac{1}{t}}dt}{x}$ $ desde integración por parcial produce $$\int_{0}^{x}\cos{\dfrac{1}{t}}dt=\int_{\frac{1}{x}}^{+\infty}\dfrac{\cos{u}}{u^2}du=-x^2\sin{\dfrac{1}{x}}+\int_{\frac{1}{x}}^{\infty}\dfrac{2\sin{u}}{u^3}du$ $ así $$\left|\dfrac{\int_{0}^{x}\cos{\frac{1}{t}}dt}{x}\right|\le|x|\left|\sin{\dfrac{1}{x}}\right|+\dfrac{1}{|x|}\int_{\frac{1}{x}}^{\infty}\dfrac{2}{u^3}=|x|\left|\sin{\dfrac{1}{x}}\right|+|x|\to 0(x\to 0)$ $

¿Mi pregunta: Este problema tiene otros métodos?

Gracias

Answer 1

También puede integrar por partes la integral directamente: $$f(x) = \int_0^x (-t^2){d \over dt} \bigg(\sin {1 \over t}\bigg)\,dt$ $ $$= -x^2\sin{1 \over x} + \int_0^{x} 2t\cos\bigg({1 \over t}\bigg)\,dt$ $ (el límite de $x$ a cero del término límite es simplemente cero.) El valor absoluto de $2t\cos\big({1 \over t}\big)$ en la mayoría es $2|t|$, por lo que el segundo término es más $x^2$. Por lo tanto, $\big|{f(x) \over x}\big| \leq 2|x|$ y por lo tanto el límite de los cocientes de la diferencia es cero.

Por supuesto esto no es diferente de lo que estaba haciendo, pero no tienes que hacer los cambios de variable de esta manera.