Teorema de Stokes para el operador de Dolbeault

Question

Tengo una pregunta sencilla sobre la geometría compleja: ¿existe un análogo del Teorema de Stokes para el Operador Dolbeault $\bar{\partial}$ ? Por ejemplo, supongamos que $M$ es una variedad compleja cerrada y estoy buscando alguna identidad como

$$\int_M \bar{\partial}(\cdots)=\cdots$$

Para que tenga sentido, supongo que $(\cdots)$ debe ser un $(0,n-1)$ -forma, y que tenemos una forma de volumen complejo... Pero de todos modos, ¿cuál es la mejor identidad que se puede obtener?

En caso de que no exista tal analogía, ¿podría alguien encontrar una razón "profunda" que asegure esta inexistencia (una diferencia muy crucial...)?

EDITAR (sólo por ampliar el alcance de la pregunta)

¿Existe la posibilidad de que se pueda decir algo para $(0,n-1)$ -siempre que exista alguna forma de volumen compleja (o "anticompleja"), es decir, una $(0,n)$ -forma que es localmente $\theta=dz_1\wedge\cdots\wedge dz_n$ procedente de (digamos) un $SU(n)$ ¿estructura? Sé que este punto de vista se aleja del ámbito inicial de la pregunta, pero... es una pregunta suave en verdad.

Answer 1

Si $M$ es un $n$ -de la matriz compleja, entonces $M$ es un $2n$ -de una colector liso, por lo que se debe integrar un $2n$ -(tenga en cuenta que $\bar{\partial}$ de un $(0, n-1)$ -forma es un $n$ -forma).

Considere la expresión $\int_M\bar{\partial}\alpha$ donde $\alpha$ es un complejo $(2n-1)$ -forma. Como $\mathcal{E}^{2n-1}(X, \mathbb{C}) = \mathcal{E}^{n,n-1}(X)\oplus\mathcal{E}^{n-1,n}(X)$ podemos escribir $\alpha = \alpha^{n,n-1} + \alpha^{n-1,n}$ donde los superíndices denotan el bidegrado. Obsérvese que

$$\bar{\partial}\alpha = \bar{\partial}\alpha^{n,n-1} + \bar{\partial}\alpha^{n-1, n} = \bar{\partial}\alpha^{n, n-1}.$$

Como $\partial\alpha^{n,n-1} = 0$ , $\bar{\partial}\alpha^{n,n-1} = d\alpha^{n,n-1}$ así que

$$\int_M\bar{\partial}\alpha = \int_M d\alpha^{n,n-1} = \int_{\partial M}\alpha^{n,n-1} = 0.$$