Distancia entre el cambio de color en los naipes

Question

Supongamos que tenemos un juego de cartas regular bien barajado que consta de 52 cartas (26 rojas y 26 negras). ¿Cuál es la longitud media de una serie de cartas del mismo color? Ej: Si la secuencia de las 10 primeras cartas es R R B R B B R el número es 10/5=2 ya que tenemos 5 secuencias dentro de las 10 cartas, pero cuál es la media para 52 cartas.

Para 4 cartas (2 rojas distintas y 2 negras distintas) tenemos las 24 combinaciones de la secuencia y ya aquí me parece confuso cómo enfocar el problema. ¿Alguna sugerencia? Supongo que tengo que utilizar la distribución hipergeométrica para calcular de alguna manera la probabilidad de sacar una secuencia de una longitud determinada.

Gracias.

Answer 1

Se trata de la longitud media de las carreras en palabras binarias de longitud $2n$ teniendo exactamente $n$ ceros y $n$ los. El número total de palabras admisibles viene dado por $A_n={2n\choose n}$ y los números $a_k$ de palabras admisibles con exactamente $k$ se dan por $$\eqalign{a_{2r}&=2{n-1\choose r-1}^2\qquad\qquad\quad(1\leq r\leq n)\ ,\cr a_{2r+1}&=2{n-1\choose r}{n-1\choose r-1}\qquad(1\leq r\leq n-1)\ .\cr}$$ (Para la primera línea podemos elegir comenzar con un $0$ o un $1$ . Entonces tenemos que poner $r-1$ separadores en el $n-1$ espacios entre $n$ estrellas; esto por separado para los ceros y los unos. La segunda línea se explica de forma similar).

La duración prevista $E(n)$ de los recorridos observados viene dada entonces por $$E(n)={2n\over A_n}\left(\sum_{r=1}^n {a_{2r}\over 2r}+\sum_{r=1}^{n-1}{a_{2r+1}\over 2r+1}\right)\ .$$ La siguiente figura muestra un gráfico de los valores resultantes. Como se esperaba, se tiene $\lim_{n\to\infty}E(n)=2$ . En particular $E(26)=1.96151$ .