No creo que el uso de DCT funcione en este caso: como has dicho, la convergencia no se mantiene. Una opción es hacerlo a mano: para las funciones indicadoras, luego las simples, y luego en general. En primer lugar, supongamos que $f$ es una función de indicación en algún intervalo $(a, b)$ . Entonces no es tan difícil convencernos de que el resultado se mantiene: dividir $(0, 1)$ en $2n$ intervalos, y ver cómo la partición se restringe a $(a, b)$ la diferencia entre los invervales $(2k/2n, 2k+1/2n)$ y $(2k-1/2n, 2k/2n)$ es como máximo $1/n$ Creo.
El siguiente paso es demostrarlo para funciones indicadoras arbitrarias, para lo cual es conveniente establecer en este entorno más general: si $g_s(x)$ son funciones que ya satisfacen el resultado, y $\int_0^1 |f-g_s| \to 0$ entonces el resultado es válido para $f$ también. (Esto es suficiente: si $f$ es el indicador de algún conjunto $E$ , utilizar que hay algún conjunto abierto $U_s \supseteq E$ tal que $\mu(U_s\setminus E) \to 0$ .) De hecho, hacemos el truco \begin{align*} \left| \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{2k}{2n}}^{\frac{2k+1}{2n}} f(x)\,\mathrm{d}x- \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}x \right| \leq& \left| \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{2k}{2n}}^{\frac{2k+1}{2n}} g_s(x)\,\mathrm{d}x- \frac{1}{2} \int_0^1 g_s(x) \,\mathrm{d}x \right| \\ &+ \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{2k}{2n}}^{\frac{2k+1}{2n}} |f(x)-g_s(x)| \,\mathrm{d}x + \frac{1}{2} \int_0^1 |f(x)-g_s(x)| \,\mathrm{d}x \\ \leq& \left| \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{2k}{2n}}^{\frac{2k+1}{2n}} g_s(x)\,\mathrm{d}x- \frac{1}{2} \int_0^1 g_s(x) \,\mathrm{d}x \right| \\ &+ \frac{3}{2} \int_0^1 |f(x)-g_s(x)| \,\mathrm{d}x. \end{align*} (Si se tiene más cuidado, creo que es posible sustituir el 3/2 por un 1/2, pero esto no es relevante).
De esta manera, ahora arreglar algunos $\varepsilon>0$ . Hay algunos $s$ tal que $\int_0^1 |f(x)-g_s(x)| \,\mathrm{d}x<\frac{1}{3}\varepsilon$ . Entonces, como ya hemos demostrado el resultado para $g_s$ Hay un poco de $n_0$ tal que $$ \left| \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{2k}{2n}}^{\frac{2k+1}{2n}} g_s(x)\,\mathrm{d}x- \frac{1}{2} \int_0^1 g_s(x) \,\mathrm{d}x \right| < \frac{\varepsilon}{2}, \qquad n \geq n_0. $$ Esto implica que $$ \left| \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{2k}{2n}}^{\frac{2k+1}{2n}} f(x)\,\mathrm{d}x- \frac{1}{2} \int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}x \right| < \varepsilon, \qquad n \geq n_0, $$ y así obtenemos la convergencia.
Esto parece un poco aterrador, pero la idea no es tan difícil: mostramos el resultado para algunas funciones ``bonitas $g$ y luego nos aproximamos para demostrarlo en general. (Si has visto la demostración del lema de Riemann-Lebesgue, por ejemplo, el truco es similar).
El resto de la prueba sigue las mismas ideas: lo demostramos para funciones simples por linealidad, y luego utilizamos que toda función integrable puede ser aproximada por funciones simples. (Y así aplicamos la prueba con $f$ y $g_s$ desde arriba).
