Una pregunta sobre las pruebas topológicas de la periodicidad de Bott

Question

Existen pruebas puramente topológicas del teorema de periodicidad de Botts, la primera de ellas dada por Dyer y Lashof. Me dirijo a discutir la prueba en mi curso de teoría de la homotopía (como acorde final y como aplicación de la secuencia espectral de Leray-Serre).

Las referencias de libros de texto que he consultado son: Dyer "Teorías de cohomología", Mimura-Toda: "Topología de grupos de Lie", Switzer "Topología algebraica". También quiero dar a conocer un bonito artículo de Kono y Tokunaga que utiliza métodos que van mucho más allá del alcance de mi curso. Hay varias versiones del argumento, pero la idea es siempre la misma. Aquí hay un esquema (en el caso complejo; un argumento similar funciona en el caso real pero es al menos seis veces más complicado).

1. Origen y destino del mapa de Bott $\beta: BU \to \Omega SU$ son homotópicos conmutativos $H$ -espacios y $\beta$ es un $H$ -mapa.
2. Por lo tanto, $H_* (BU)$ y $H_* (\Omega SU)$ son anillos conmutativos bajo el producto Pontrjagin y $\beta$ induce un homomorfismo de anillo.
3. Consideremos el mapa clasificador $\lambda :\mathbb{CP}^{\infty} \to BU$ del haz de Hopf de Hopf. Si se rastrea la definición del mapa de Bott, se observa que $\beta \circ \lambda: \mathbb{CP}^{\infty} \to \Omega SU$ es el adjunto de el siguiente mapa $\Sigma \mathbb{CP}^{\infty} \to SU$ : $(z,l)$ va al mapa lineal que es la multiplicación por $z$ en $l$ y $1$ en el complemento (vale, hay que normalizar para que el determinante $1$ ).
4. $\beta \circ \lambda: \mathbb{CP}^{\infty} \to \Omega SU$ es inyectiva en homología y el mapa inducido $P [H_* (\mathbb{CP}^{\infty})] \to H_{*}(\Omega SU)$ ( $P$ significa álgebra polinómica) es un isomorfismo de anillo. Esta es la parte que hace un gran uso de las secuencias espectrales.
5. Todo lo probado hasta ahora implica que $\beta$ es suryente en homología.
6. Dado que los grupos de homología de $BU$ y $\Omega SU$ son abelianos libres del mismo rango (aquí se necesita conocer la estructura aditiva de $H_* (BU)$ ), $\beta$ también es inyectiva en homología.
7. Por el teorema de Hurewicz, $\beta$ es una equivalencia homotópica débil.

Versión 1 de mi pregunta: ¿Es posible modificar el argumento para utilizar la cohomología en su lugar? ¿O hay alguna razón por la que el siguiente esquema no funciona? no funciona?:

1. demostrar la estructura del producto taza en $H^* (BU)$ (Deseo hacer esto de todos modos)
2. calcular la estructura aditiva de $H^* (\Omega SU)$ .
3. Identificar algunas clases de cohomología concretas de $\Omega SU$ Por ejemplo, las transgresiones de las clases de $SU$ o dobles transgresiones de clases de $BSU$ .
4. Demostrar que las imágenes de estas clases bajo $\beta$ generar $H^* (BU)$ .

Esto tendría, en mi opinión, la ventaja de que utiliza la estructura de producto de copa mucho más familiar en $H^* (BU)$ en lugar de la estructura del producto Pontrjagin en $H_* (\Omega SU)$ . Por lo tanto, la prueba es al menos psicológicamente más sencilla. Una versión más técnica y centrada de mi pregunta es:

Versión 2: qué son las imágenes inversas $(\beta^*)^{-1}(c_k) \in H^{2k} (\Omega SU)$ . Estoy buscando una fórmula que sea lo suficientemente explícita para mostrar que $\beta^*$ es suryente.

EDIT: una respuesta obvia podría ser que mi boceto no necesita las estructuras del espacio H y fallará por esa razón.

Answer 1

Hay una hermosa observación de mi asesor John Moore que, en mi opinión, debería formar parte del enfoque de cualquier argumento de este tipo: el álgebra de Hopf $H_{\ast}(BU;Z)$ o, por el contrario $H^*(BU;Z)$ es autodual. Esto es álgebra pura y agiliza la presentación. Mi presentación preferida está en la sección 21.6 de May y Ponto, More Concise Algebraic Topology, disponible en Amazon o en University of Chicago Press. Por cierto, hay una prueba de la periodicidad real de Bott en la misma línea debida a Moore (y escrita por Cartan si la memoria no me falla) en uno de los seminarios de Cartan de los años 50 y otra prueba de este tipo por Dyer y Lashof. Lo curioso es que cada una de estas pruebas encuentra una de las seis equivalencias que hay que demostrar más difícil que todas las demás, pero encuentran dificultad con diferentes: combinando el más fácil de los respectivos argumentos se obtiene una prueba homológica limpia e instructiva.