¿Existe una estructura de modelo para los módulos S tal que las álgebras operatorias cofibrantes se olvidan de los módulos S cofibrantes?

Question

En 1997, Elmendorf, Kriz, Mandell y May escribieron un libro Anillos, módulos y álgebras en la teoría de la homotopía estable en la que introdujeron la categoría de $S$ -como modelo para la categoría de homotopía estable. La categoría de $S$ -es una categoría de modelos simétricos cerrados cuyo producto monoidal desciende al producto habitual en la categoría de homotopía estable. Su unidad es el espectro de la esfera. Todos los objetos son fibrantes pero la unidad no es cofibrante. Toda operada $O$ es admisible, lo que significa que la categoría de $O$ -tiene una estructura de modelo transferido donde un morfismo $f$ de $O$ -es una equivalencia débil (o una fibración) si y sólo si $U(f)$ está en $S$ -módulos. Una referencia es la Proposición 1.5 en "Moduli Spectra of Commutative Ring" de Goerss y Hopkins. La prueba utiliza que $S$ -los módulos tienen un objeto de intervalo estructurado.

Para la operad $O = Ass$ El teorema VII.6.2 de EKMM demuestra que si $A$ es un cofibrante $S$ -entonces la unidad $S \to A$ es una cofibración de $S$ -módulos. Justo después, escriben "En el caso conmutativo, el argumento falla porque debemos pasar a órbitas sobre acciones de grupos simétricos".

La propiedad que quiero, que un cofibrante $O$ -álgebra debe olvidar a un espectro cofibrante, se ha llamado a veces "conveniente", pero esa palabra está sobrecargada. Una noción relacionada, estudiado por Pavlov y Scholbach es decir que una operada $O$ es fuertemente admisible , lo que significa que, si $a: A\to A'$ es una cofibración de $O$ -con $A$ cofibrante, entonces $U(a)$ es una cofibración y $U(A)$ es cofibrante. Así que esto implica lo que quiero, e incluso más.

Por desgracia, en la categoría de $S$ -módulos con la estructura del modelo EKMM, la operada monoide conmutativa no tiene la propiedad que quiero. $S$ es un monoide conmutativo cofibrante que no es cofibrante como $S$ -módulo. Tenemos el mismo problema con $O = Ass$ . Curiosamente, porque $S$ no es cofibrante en $S$ -mod, la operada asociativa no es $\Sigma$ -cofibrante, como $Ass(n)$ es un coproducto de copias de $S$ uno para cada $\sigma$ en el grupo simétrico $\Sigma_n$ .

Todavía puede haber una esperanza de que $\Sigma$ -Las operadas cofibrantes son fuertemente admisibles, pero normalmente para demostrarlo se requiere que la unidad sea cofibrante. En particular, no sé si $S$ -satisfacen la condición de Pavlov-Scholbach de "h-monoidalidad simétrica" o las condiciones relacionadas en la Sección 6 de Localización de Bousfield y álgebras sobre operadas coloreadas . Si lo hacen, entonces sabemos que el cofibrante $O$ -Las álgebras se olvidan del cofibrante $S$ -módulos para operads $O$ cuyos espacios $O(n)$ son cofibrantes.

Hay varios otros buenos modelos de espectros, incluidos los espectros simétricos y ortogonales, y varios ajustes de sus estructuras de modelos estables. En la estructura del modelo positivo sobre espectros simétricos u ortogonales, todas las operadas son admisibles. Para los espectros simétricos, esto se demuestra en los teoremas 8.3.1 y 6.1.1 de Localización de Bousfield y álgebras sobre operadas coloreadas entre otros lugares. Para los espectros ortogonales esto se demuestra en el Corolario 5.15 de Localización de Bousfield derecha y categorías de Eilenberg-Moore entre otros. Sin embargo, en general, un monoide conmutativo cofibrante no tiene por qué olvidarse de un objeto cofibrante en estas categorías, por la Proposición 4.2 del artículo de Shipley Una categoría modelo conveniente para los espectros de anillos conmutativos . Por esta razón, Shipley introdujo lo que ahora se llama el estructura del modelo plano estable positivo en los espectros simétricos (y lo mismo funciona para los espectros ortogonales, véase la Observación 5.14 en el documento de Bousfield derecho anterior) donde, de hecho, las álgebras cofibrantes sobre operadas coloreadas cofibrantes de entrada (y los monoides conmutativos) se olvidan de los objetos cofibrantes en estas estructuras de modelos planos positivos, por ejemplo, por la Sección 6 del documento de Bousfield izquierdo anterior.

(1) ¿Podemos modificar la estructura del modelo EKMM en $S$ -de alguna manera para que los monoides conmutativos cofibrantes se olviden de los cofibrantes $S$ -¿Módulos?

(2) ¿Podemos hacer lo mismo con alguna clase de operadas? Quizá en el caso de $\Sigma$ -cofibrantes, no tenemos que modificar en absoluto la estructura del modelo EKMM. Si es así, me encantaría saberlo.

Answer 1

Aquí hay algo que creo que es razonablemente difícil de sortear. Como observas, la unidad es el objeto inicial de los monoides conmutativos, por lo que tu petición incluye que la unidad sea cofibrante.

Supongamos que $(C,\otimes,1)$ es una categoría monoidal simétrica con colímites donde la estructura monoidal simétrica preserva los colímites en cada variable. Entonces el monoide conmutativo libre sobre $X$ es $$ \coprod_{n \geq 0} X^{\otimes n}/\Sigma_n. $$ En el caso de que $X$ es la unidad monoidal $1$ Sin embargo, los axiomas de la unidad implican que la acción de $\Sigma_n$ en $1^{\otimes n}$ es trivial, por lo que el monoide conmutativo libre sobre $1$ es $$ \coprod_{n \geq 0} 1. $$ Sin embargo, si hay espacios de funciones, el libre $E_\infty$ álgebra sobre $1$ debe tener en cambio el tipo de homotopía de $$ \coprod_{n \geq 0} 1_{h\Sigma_n}. $$

Para nosotros, esto significa que necesitamos algún tipo de compromiso, especialmente si esperamos una adjunción de Quillen entre objetos de C y monoides conmutativos.

• Tal vez tengamos que aceptar que no va a haber una adjunción de Quillen entre los monoides conmutativos y los objetos de C (estructuras modelo no positivas sobre espectros simétricos).
• Tal vez tengamos que aceptar que la unidad no es cofibrante (estructuras modelo positivas, módulos S).
• Tal vez tengamos que aceptar que los monoides conmutativos simplemente no son equivalentes a las álgebras sobre un $E_\infty$ y, por tanto, la teoría de homotopía de los monoides conmutativos es la teoría de homotopía de un tipo de objeto completamente nuevo ( $\Gamma$ -espacios, espacios topológicos, espectros equivariantes).
• Quizá tengamos suerte y esta distinción entre órbitas y órbitas de homotopía no sea realmente un problema (característica cero).
• Tal vez vayamos más allá y encontremos un modelo en el que la estructura simétrica monoidal interactúe mal con los colímites (?).