Distribución de puntos en una esfera

Question

La siguiente pregunta proviene de un enunciado de la prueba de Joshua Greene de la conjetura de Kneser.

Afirma que, teniendo en cuenta $n$ y $k$ enteros positivos, podemos encontrar $2n+k$ puntos en $S^{k+1}$ de tal manera que no $k+2$ puntos de estos puntos se encuentran en un gran $k$ -Esfera.

¿Por qué es así?

Answer 1

Un gran $k$ -es la intersección de $S^{k+1}$ (como subconjunto de $\mathbb R^{k+2}$ ) con un $(k+1)$ -hiperplano dimensional que pasa por el origen. Dicho hiperplano está determinado por $k+1$ puntos linealmente independientes.

Sólo hay que empezar con $k+1$ puntos linealmente independientes, y añadir repetidamente un punto que no esté en ninguno de los hiperplanos determinados por cualquier $k+1$ de los puntos ya presentes (siempre posible, ya que una unión finita de hiperplanos no cubrirá toda la esfera).