¿cómo demostrar esta identidad de fibonacci? $\sum_{k=0}^{n-3} F_k F_{n-k-3}$ = $(1/5)[ (n-3) L_{n-3} - F_{n-3}]$ He utilizado las funciones generadoras y la suma geométrica y ¿cómo he podido obtener el resultado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
marty cohen
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Esto es lo mismo que $\sum_{k=0}^{n} F_k F_{n-k} =(1/5)[ nL_{n} - F_{n}] $ .
En la columna "Related" señala esto: Probando $ F_{m}F_{n}=\dfrac{1}{5}(L_{m+n}-(-1)^{n}L_{m-n}) $ para los números de Fibonacci
Si esto es cierto (no hay respuesta suministrada, pero la fórmula de Binet probablemente útil), el problema se convierte en
$\begin{array}\\ (1/5)[ nL_{n} - F_{n}] &=\sum_{k=0}^{n} F_k F_{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{5}(L_{n}-(-1)^{n-k}L_{2k-n}) \qquad m \to k, n \to n-k\\ &=(n+1)L_n/5-\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{5}(-1)^{n-k}L_{2k-n}\\ \end{array} $
o $ L_{n} + F_{n} =\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}L_{2k-n} $ y esto, si es cierto, probablemente puede ser resuelto utilizando las fórmulas de Binet para la $F_n$ y $L_n$ .
(añadido posteriormente)
Nota:
Las fórmulas de Binet son donde $\phi =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} $ ,
$F_n =\dfrac{\phi^n-(-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} $ y $L_n =\phi^n+(-\phi)^{-n} $ .
Estos pueden ser útiles.
