La definición que menciona Martin se aproxima a la definición de vector tangente que aprendí en la licenciatura.
"Definición: Un vector geométrico tangente es una clase de equivalencia de gérmenes de mapas suaves $\mathbb{R} \to M$ en $0$ donde dos gérmenes son equivalentes si sus chorros de primer orden en $0$ de acuerdo".
De forma más general, podríamos decir que para cualquier colector de prueba $U$ un mapa suave $U \to TM$ es una clase de equivalencia de gérmenes de mapas $U \times \mathbb{R} \to M$ alrededor de $U \times \{0\}$ donde dos gérmenes son equivalentes si sus chorros de primer orden en $\mathbb{R}$ -dirección son iguales.
Para dar sentido a la relación de equivalencia, necesitamos, horribile dictu, un pequeño cálculo en coordenadas locales con la regla de la cadena. Hay que trabajar un poco para demostrar que el functor $U \mapsto \{ \text{germs of maps} U \times \mathbb{R} \to M\}$ es representable por un haz vectorial $TM$ . Asimismo, se necesitan algunos cálculos locales y argumentos con gráficos para ello.
El problema, por supuesto, es que no existe un múltiple $\ast[\epsilon]$ tal que los mapas $\ast[\epsilon] \to M$ corresponden a la tangente vectores de $M$ . Así que el functor $M \mapsto TM$ no tiene un adjunto. Puede ser una buena idea utilizar supermanifolds en su lugar. Recordemos que existe a $(0,1)$ -supermanifiesto dimensional con álgebra de funciones $\mathbb{R} [\epsilon]/ \epsilon^2$ . Sin embargo, no soy lo suficientemente experto como para decirle algo más específico sobre eso.
Estoy profundamente convencido de que, efectivamente, es necesario invocar las coordenadas de alguna forma y que los cálculos "desagradables" con la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo son absolutamente cruciales. Si queremos definir una estructura en la que podamos hablar de derivadas de mapas entre variedades, las propiedades más básicas de la derivada de mapas entre espacios euclidianos deberían desempeñar un papel. Por supuesto, se puede utilizar armamento matemático de alta tecnología de todo tipo para ocultar cuidadosamente las cartas locales. No intentaré hacerlo. De todos modos, si se desea crear el haz tangente no como un objeto en una categoría de funtores, sino como un colector, hay que comprobar que es un colector, es decir, se necesitan gráficos en algún punto.
La construcción del haz tangente se generaliza inmediatamente a una construcción del haz marco $Fr(M)$ en su lugar. Como es tan divertido, definimos inmediatamente los paquetes de marcos superiores $Fr^k(M)$ .
Definición: un $k$ -es una clase de equivalencia de gérmenes de difeomorfismos locales $\mathbb{R}^n \to M$ donde dos gérmenes son equivalentes si su $k$ -a orden coinciden. De forma más general, para una colector $U$ , dejemos que $Fr^k M (U)$ sea el conjunto de gérmenes de mapas suaves $U \times \mathbb{R}^n \to M$ que son difeomorfos en $\mathbb{R}^n $ -dirección. La equivalencia se define por la igualdad de $k$ -jets".
De nuevo, la regla de la cadena es necesaria para justificar la definición de la relación de equivalencia. Ahora definimos los grupos de chorros $J^k (n)$ . Consideremos el anillo de la serie de potencias $R:=\mathbb{R}[[x_1,\ldots ,x_n]]$ y que $G$ sea el grupo de automorfismos del anillo. Por la acción sobre las expansiones de Taylor, obtenemos un homomorfismo $Diff(\mathbb{R};0) \to G$ . Sea $I \subset R$ sea el único ideal maximal. Claramente, el grupo $G$ conserva la filtración $R \supset I \supset I^2 \supset \ldots$ . Por lo tanto, actúa sobre los espacios vectoriales de dimensión finita $R / I^{k+1}$ . El $k$ el grupo jet $J^k (n)$ es el cociente de $G$ por el núcleo de su acción sobre $R / I^{k+1}$ . Se ve fácilmente que se trata de un grupo algebraico lineal. Hay mapas obvios $J^{k+1} (n)\to J^k (n)$ y un isomorfismo igualmente obvio $J^1 (n) \cong GL_n (\mathbb{R})$ . Las extensiones tienen un núcleo nilpotente y están divididas (toman derivadas de difeomorfismos polinómicos), pero el desdoblamiento no es natural (es natural con respecto a los mapas lineales $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ pero no de forma más general).
Es fácil ver que $U \mapsto Fr^k (M)(U)$ es un torsor sobre el grupo $map (U; J^k (n))$ (componer con gérmenes de difeomorfismos).
El functor $U \mapsto Fr^k (M)(U)$ es representable por un $J^k (n)$ -bienestar principal. Esto se hace en gráficos y luego por pegado. De nuevo, el functor $Fr^k (M)$ ciertamente no tiene un adjunto.
El segundo enlace que dio Martin alude a una caracterización axiomática del haz tangente (y de los haces de marco superior también). No se ajusta del todo a la ideología del functor de puntos, pero creo que sigue siendo muy útil, porque axiomatiza el encolado y de ahí que diga también algunas palabras al respecto.
Dejemos que $C_n$ sea la categoría de las variedades lisas de dimensión $n$ como objetos y difeomorfismos locales como morfismos.
Un haz de fibras naturales en $C_n$ es el siguiente conjunto de datos: Para cada $M \in \operatorname{Ob} (C_n)$ existe un haz de fibras lisas $F_M \to M$ y para cada mapa $f:M \to N$ en $C_n$ existe un mapa de paquetes $F_M \to F_N$ además de algunas propiedades obvias de funtorialidad propiedades. También hay una noción canónica de un morfismo de haces de fibras naturales. Sea $F(0)$ sea la fibra de $F_{\mathbb{R}^n} \to \mathbb{R}^n$ en $0$ . Hay una acción de $Diff(\mathbb{R}^n;0)$ (difeomorfismos que fijan el origen) en $F(0)$ . He aquí una caracterización axiomática del haz tangente:
TEOREMA: El haz tangente es el único haz de fibras natural en $C_n$ , de tal manera que $F(0)=\mathbb{R}^n$ con la acción de $Diff(\mathbb{R}^n,0)$ dada por la primera derivada $Diff(\mathbb{R}^n,0) \to GL_n (\mathbb{R})$ .''
Está claro que el haz tangente satisface estas propiedades, y aquí hay un esbozo de unicidad, es decir, que el haz tangente está determinado por estas propiedades. Sea $F_M \to M$ ser un paquete natural. I muestro que está determinado, hasta un isomorfismo natural, por la acción sobre $F(0)$ .
Restringir primero a $M = V = \mathbb{R}^n$ . Sabemos que existe una acción del grupo difeomorfismo $Diff(V)$ en $F_V$ , cubriendo la acción en $V$ . Utilizar las traducciones $T_x (v):= v +x$ obtenemos una trivialización $F_V \times V \times F(0)$ . Sea $x \in V$ , $f \in Diff(V)$ . La acción $f:F(x) \to F(f(x))$ está dada en esta trivialización por la acción de $T_{-f(x)} \circ f \circ T_x \in Diff(V;0)$ en $F(0)$ , que se conoce por suposición. Este argumento muestra que $F(0)$ más la acción determina $F_V$ por completo.
Por restricción a subconjuntos abiertos y naturalidad, la restricción de $F$ a la subcategoría completa $O_n$ de variedades difeomorfas a algún subconjunto abierto de $V$ está determinada de forma única.
Dejemos que $M$ sea una variedad arbitraria y que $U(i)_{i \in I}$ sea el atlas máximo. Se puede escribir como un diagrama $U : J \to O_n$ para alguna categoría de indexación $J$ (tenga en cuenta la intersección de los gráficos). El diagrama tiene un colímite en $C_n$ , a saber $M$ (por supuesto, no todos los colimits en $C_n$ existen). Asimismo, obtenemos un diagrama $j \mapsto F_{U(j)}$ cuyo colímite es $F$ . Así, un haz natural está completamente determinado, hasta el isomorfismo natural, por la acción de $Diff (V,=)$ en la fibra $F(0)$ .
La cuestión de la existencia de haces de fibras naturales generales es un poco más sutil, por varias razones. Existe un teorema de Palais y Terng que afirma que la acción sobre $F(0)$ tiene automáticamente un orden finito (es un factor a través de $j^k (n)$ para algunos $k$ ). Además, hay que tener en cuenta la topología del grupo de difeomorfismo. Pero para el haz tangente estas sutilezas no se sabe cuál es el haz tangente de un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ tiene que ser y cómo el difeomorfismo actúa sobre eso. El procedimiento del colímite produce entonces el haz tangente. Los haces de tramas superiores pueden construirse de forma similar.
