Calcular el determinante $D_n$

Question

Me gustaría calcular: $$D_n=\begin{vmatrix}1&-2&&&&\\2&2&-2&&0&\\&6&3&-2&&\\&&\ddots&\ddots&\ddots&\\&0&&\ddots&\ddots&-2\\&&&&n(n-1)&n\end{vmatrix}$$

No veo ninguna recurrencia... Podemos factorizar el $n$ en la última línea, pero después de eso, todo lo que obtengo es desordenado.

Answer 1

Restando $n-1$ -veces la enésima columna forman el $n-1$ Las primeras columnas dan como resultado $$ D_n = \det\pmatrix{* &* &* \\ * & 3(n-1) & -2\\ 0 & 0 & n } $$ entradas con $*$ no se modifican. Entonces $$ D_n = n \det\pmatrix{* &* \\ * & 3(n-1)} = n \det\pmatrix{* & * & 0 \\* & * & -2 \\ *&* & 3(n-1)} \\ = n \left( \det\pmatrix{* & * & 0 \\* & * & -2 \\ *&* & n-1} + \det\pmatrix{* & * & 0 \\* & * & 0 \\ *&* & 2(n-1)}\right), $$ donde en el último paso he utilizado que el determinante es lineal con respecto a las columnas de la matriz. Ahora el primer determinante de la ecuación es $D_{n-1}$ el segundo es $2(n-1)D_{n-1}$ . Esto implica $$ D_n = n ( D_{n-1} + 2(n-1)D_{n-2}) $$ con $D_1=1$ . Configurar $D_0=1$ hace que la fórmula también sea válida para $n=2$ .