Ayuda para entender la notación del producto (PI mayúscula)

Question

En el artículo de la wikipedia para la interpolación de lagrange ( https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial ), muestra la definición de las funciones de base de Lagrange de una manera extraña - bueno, extraña para mí al menos.

$$\ell_j(x) := \prod_{\begin{smallmatrix}0\le m\le k\\ m\neq j\end{smallmatrix}} \frac{x-x_m}{x_j-x_m}$$

Esa notación del producto no parece indicar un índice explícito o un rango sobre el que operar.

Al adivinar, parece que $m$ se define implícitamente como el índice, sólo porque es una variable no definida previamente.

También parece que $m$ debe ser mayor o igual a cero y menor o igual a $k$ . No parece decir nada sobre el hecho de que m debe ir de 0 a $k$ sin embargo.

Indica, por supuesto, omitir el valor donde $m=j$ .

¿Puede alguien ayudarme a entender cómo leer correctamente esta notación?

Gracias.

Answer 1

Has adivinado bien. Significa el producto sobre el conjunto

$$\{m\in\Bbb Z:0\le m\le k\text{ and }m\ne j\}$$

de los índices. De la misma manera,

$$\prod_{a\le n\le b}x_n$$

es sinónimo de

$$\prod_{n=a}^bx_n\;.$$

De vez en cuando se ven variantes aún más "exóticas", por ejemplo

$$\prod_{n\in\{2p+1:p\text{ is prime}\}}x_n$$

o

$$\prod_{5\le 3n+7<28}x_n\;.$$

Answer 2

La forma más fácil de leer esto es decir que el producto se extiende sobre todos los índices $m$ con $m= 0, 1, \ldots, j-1,j+1, j+2, \ldots, k$ . En otras palabras, los índices van de $0$ a $k$ , pero se salta el índice $j$ .

Será muy claro si lo escribes a mano, sin el $\Pi$ notación.