¿Cuál es la relación entre los subespacios fundamentales y los espacios vectoriales de dimensión finita que son isomorfos a $\mathbb R^n$

Question

Sé que si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita de dim $n$ entonces $V$ es isomorfo a $\mathbb{R}^n$ . Sabemos que esto es cierto porque si dim $V = n$ Hay una base $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n \in V$ y podemos definir la transformación lineal invertible $T: V \rightarrow \mathbb{R}^n$ por $A\mathbf{v}_k = \mathbf{e}_k$ para $k = 1,2,...,n$ . Un corolario de varios teoremas de invertibilidad afirma que una matriz $A$ es invertible sólo si sus columnas forman una base en $\mathbb{R}^n$ . Así que los vectores base $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n \in V$ son $n$ -tuplas (tienen $n$ entradas/ $n$ coordenadas), por lo que $T$ es un $n \times n$ matriz y todo funciona y tiene sentido. Ahora en cuanto a donde me confundo...

Todos los subespacios son espacios vectoriales. Así que los cuatro subespacios fundamentales, ran $A$ , ker $A$ etc, sea isomorfo a $\mathbb{R}^n$ ? Para ver un ejemplo sencillo, digamos que tenemos la matriz \begin{align*} A = \begin{bmatrix}1&1&2\\2&2&4\\2&3&5\end{bmatrix} \N - Flecha derecha \begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}. \end{align*} Como hay un pivote en la primera y segunda columnas de la forma escalonada de $A$ sabemos que los dos primeros vectores columna de $A: (1,2,2)^T$ y $(1,2,3)^T$ nos dan una base en el Ran $A$ .

La dimensión de Ran $A$ es $2$ Así que volviendo a nuestra primera afirmación, debe ser cierto que Ran $A$ es isomorfo a $\mathbb{R}^2$ . Así que debe haber alguna matriz invertible $T: \text{Ran}\; A \to \mathbb{R}^2$ . El Ran $A$ consiste en vectores columna con $3$ entradas, y todas las matrices invertibles deben ser cuadradas, por lo que $T$ debe ser un $3\times 3$ matriz. Así, los vectores de salida en el codominio son elementos en $\mathbb{R}^3$ . Pero esto contradice el hecho de que el codominio debe ser $\mathbb{R}^2$ .

Agradecería que alguien me dijera dónde me estoy confundiendo.

Answer 1

La confusión que haces viene de un espacio y subespacios lineales. Por ejemplo, $\text{Ran}A$ es un subespacio lineal de dimensión $2$ de $\mathbb R^3$ . En efecto, existe una transformación lineal invertible entre $\text{Ran}A$ y $\mathbb R^2$ . Esto no implica que $\text{Ran}A$ es isomorfo a $\mathbb R^3$ .

Answer 2

@mathcounterexamples.net @Niki Di Giano.

Gracias a los dos por la ayuda. Si trato de reiterar lo que ustedes dos están diciendo para asegurarse de que estoy entendiendo correctamente: Que $T$ representan la matriz de la transformación. La entrada a la matriz de transformación que es el isomorfismo $T$ : Ran $A \rightarrow \mathbb{R}^2$ es un vector $\mathbf{v} = (x_1,x_2)^T \in$ Ran $A$ que es un subespacio bidimensional de $\mathbb{R}^3$ . Así que mi error fue asumir incorrectamente que la entrada era un vector con 3 coordenadas. Dejemos que $\mathcal{B}$ sea la base de Ran $A$ . Entonces el vector de entrada es el vector de coordenadas de $\mathbf{v}$ en relación con $\mathcal{B}$ o $[\mathbf{v}]_\mathcal{B}$ (por definición). Así que también fue incorrecto por mi parte afirmar en la primera parte que los vectores base de un $n$ -de un espacio vectorial de dimensiones son $n$ -tuplas. La dimensión de un espacio vectorial no tiene por qué ser igual al número de coordenadas de los vectores base de ese espacio, ya que los subespacios bidimensionales en $\mathbb{R}^3$ existen (son planos en $\mathbb{R}^3$ ). Además, al definir $T$ para cada vector en $\mathcal{B}$ tal que $T([1,2,2]^T) = \mathbf{e_1}$ y $T([1,2,3]^T) = \mathbf{e_2}$ obtenemos que la representación matricial de $T$ es la identidad $I_2$ . En mi libro de texto el mapeo $T: V \rightarrow \mathbb{F}^n$ está correlacionada con $\mathbf{v} \rightarrow [\mathbf{v}]_\mathcal{B}$ , dado $\mathcal{B}$ es la base de $V$ . Pero acabamos de demostrar que la entrada $\mathbf{v}$ es $[\mathbf{v}]_\mathcal{B}$ lo que sólo ocurre si $T$ es la identidad. En otras palabras, transformamos $\mathcal{B}$ en la base estándar, lo que podemos hacer para cualquier espacio vectorial de dimensión finita.