Para ampliar mi comentario:
Espacios de Fréchet son una clase especial de espacios vectoriales topológicos. Tenga en cuenta que un espacio vectorial topológico tiene una estructura uniforme que viene de la subyacente abelian topológico grupo, así que tiene sentido hablar de la integridad. Un espacio de Fréchet es una completa y metrizable localmente convexo espacio vectorial topológico.
No es difícil demostrar que un continuo lineal mapa entre espacios vectoriales topológicos es uniformemente continua. Por lo tanto, la integridad y locales convexidad son preservados bajo isomorphisms dentro de la categoría de espacios vectoriales topológicos y lineal continua y mapas.
Metrizability de un localmente convexo topológico espacio vectorial es equivalente a admitir a una contables barrio de la base de $0$ consiste convexo, equilibrado y absorción de los conjuntos (a menudo es conveniente sustituir esta base por una disminución de la secuencia de dichos conjuntos). Esta propiedad también se conserva bajo isomorphisms como topológicos, espacios vectoriales, por lo tanto, en mi opinión sólo hay una razonable noción de isomorfismo que puede ser considerado: simplemente lineal homeomorphisms. Por la asignación abierta teorema (como se indica por ejemplo, en Rudin del Análisis Funcional, Teorema 2.11, página 47) lineal continuo bijection entre espacios de Fréchet es un homeomorphism.
Como un punto más, el (la secuencia de) semi-normas y las métricas con las que se puede definir un espacio de Fréchet son generalmente no natural. Es decir, hay muchas opciones convenientes y depende del contexto en el que es el más apropiado. Esto está en marcado contraste con los espacios de Banach que viene equipada con una preferido norma. Como corolario, ni la preservación de algunos (cada vez mayor) de la secuencia de seminorms ni la preservación de algunos de traducción invariantes métricos son naturales en mi opinión.
Añadido: en vista de pablo garret segundo comentario de abajo:
Uno puede muy fácilmente show (tan pronto como el lenguaje) que cada completar localmente convexo espacio vectorial topológico $X$ es (filtrada proyectiva) límite de los espacios de Banach (en la categoría de localmente convexo espacios).
Para ver esto, elegir una base $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ de el barrio de filtro de $0$, que consta de convexo, equilibrado y absorción de los conjuntos y deje $p_{\alpha}$ ser Minkowski funcionales asociados a $U_{\alpha}$. El Hausdorffification $X_{\alpha}$ $(X, p_{\alpha})$ es fácilmente visto como un espacio de Banach y debido a $A$ es dirigido por la inversión de inclusión así es $X_{\alpha}$. Es sencillo comprobar que $X = \varprojlim X_{\alpha}$ en la categoría de localmente convexo espacios. Para más detalles, me refiero a Schaefer, Topológicos, Espacios Vectoriales, Capítulo II.§5, página 51ff.
Ahora, dado que un espacio de Fréchet admite una disminución de la secuencia de convexo equilibrada y la absorción de los barrios, sino que se sigue inmediatamente de que cada espacio de Fréchet es el proyectiva es el límite de una secuencia de espacios de Banach. Para más detalles, ver Schaefer, Capítulo II.§4, página 48f (así como Teorema I. 6.1, página 28). Por el contrario, cualquier límite de una secuencia de espacios de Banach es un espacio de Fréchet.
En vista de esto, es aún menos natural esperar que un (general) espacio de Fréchet viene equipado con una preferido métrica.
