solución para la integral $\int_0^{\infty} \frac{k}{k^3-a}J_0\left(k \, r\right) dk $ que implica la función de Bessel (transformada de Hankel)

Question

Durante mi investigación me enfrento por primera vez a integrales que implican funciones de Bessel. En particular necesito evaluar la siguiente integral:

$\int_0^{\infty} \frac{k}{k^3-a}J_0\left(k \, r\right) dk $

con $a$ y $r$ siendo dos números reales positivos. $J_0$ es una función de Bessel del primer tipo y de orden cero.

Sé que esto puede ser visto como una transformada de Hankel de la función $\frac{1}{k^3-a}$ Sin embargo, no he podido encontrar una referencia para esta transformación. Tal vez sea una conocida.

Desgraciadamente, Mathematica no ayuda a encontrar la solución al problema. Se agradece cualquier ayuda o pista.

¿Tal vez una forma de resolver esto podría ser utilizando una descomposición compleja de la fracción?

Answer 1

Podemos pasar por el Transformación de Laplace y la descomposición parcial de la fracción: $$\mathcal{L}\left(J_0(kr)\right) = \frac{1}{\sqrt{r^2+s^2}},\qquad \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{k+b}\right)=e^{-bs}\tag{1}$$ conduce a: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{J_0(kr)}{k+b}\,dk = \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-bs}}{\sqrt{r^2+s^2}}\,ds \tag{2}$$ donde la RHS de $(2)$ es un múltiplo de la diferencia entre un Bessel $Y_0$ y un Struve $H_0$ función.