Demostrar que si $U$ y $W$ son subespacios de $V$ avec $V = U+W$ entonces existe un subespacio $W_1$ de $W$ para que $V=U \oplus W_1$

Question

Demostrar que si $U$ y $W$ son subespacios de $V$ avec $V = U+W$ entonces existe un subespacio $W_1$ de $W$ para que $V=U \oplus W_1$

Mi intento:

Dejemos que $W_1 = \big\{w \in W | w \notin W \cap U \big\}$ . Entonces $W_1 \cap U = \{0\}$ pero no estoy seguro de si $W_1$ es un subespacio. ¿Cómo puedo proceder?

Para responder al comentario: Los espacios son vectoriales.

$U+W = \big\{u+w|v\in U, w \in W\big\}$ . El símbolo $\oplus$ se refiere a una suma directa. La suma $U+W_1$ es una suma directa si $U \cap W_1 = \{0\}$ .

Answer 1

Encuentre la base de $\frac VU$ como esta forma $\mathcal B=\{v_i+U \mid i\in I\}$ y existe un isomorfismo $L:\frac VU\to \frac W{W \cap U}$ por Segundo isomorfismo Thoerem .

Entonces puede encontrar la base de $\frac W{W \cap U}$ $\mathfrak B=L\mathcal B=\{w_i+{W \cap U}\mid i\in I\}$ .

Entonces dejemos que $W_1=\mathrm{span}\mathfrak B$ . Es trivial que $W_1$ es el subespacio de $W$ y $U\cap W_1=\{0\}$ .

Así que $V=U\oplus W_1$ .

Answer 2

Tome una base $(u_1, \dots , u_k)$ de $U$ y extenderlo a una base $(u_1, \dots , u_k, v_{k+1}, \dots, v_n)$ de $V$ . Desde $V = U + W $ ,

$$(u_1, \dots , u_k, v_{k+1}, \dots, v_n) = (u_1, \dots , u_k, u_{k+1} + w_{k+1}, \dots, u_n + w_n)$$

para algunos $u_{k+i} \in U$ y $w_{k+i} \in W$ . Desde $u_{k+i} + w_{k+i} \in \text{span} \{u_1, \dots, u_k, w_{k+i}\}$ vemos que $$V = \text{span} \{u_1, \dots , u_k, u_{k+1} + w_{k+1}, \dots, u_n + w_n\} = \text{span} \{u_1, \dots , u_k, w_{k+1}, \dots, w_n\}$$

para que $(u_1, \dots , u_k, w_{k+1}, \dots, w_n)$ es una base de $V$ . Así, podemos elegir $W_1 = \text{span} \{w_{k+1}, \dots, w_n\}$