Contraejemplo del teorema del mapa abierto

Question

Me gustaría plantear un contraejemplo para el teorema clásico del análisis funcional: el teorema del mapa abierto en el caso de que $Y$ es Banach, pero $X$ no es Banach para demostrar que la completitud de X es crucial.

En detalle, encontrar un mapeo lineal continuo $T:X \to Y$ tal que $T(X)=Y$ y $Y$ es Banach pero $T$ no está abierto.

Si podemos construir esto, podríamos obtener un ejemplo interesante: existe un mapeo lineal biyectivo (contiguo) entre dos espacios normados $X$ y $Y$ y sólo una de ellas es de Banach. Los contraejemplos para el caso en que $Y$ no es Banach es simple, pero no se me ocurrió si necesito $X$ no es Banach y $Y$ es Banach. ¡Gracias!

Answer 1

Minh, esta no es una respuesta nueva, ya que tienes un número satisfactorio de ellas, pero es un acertijo para ti, ya que estás interesado en este tema (demasiado largo para ser publicado como comentario).

"Teorema". Todas las normas de Banach en un espacio vectorial real $X$ son equivalentes.

"Prueba". (boceto). Sea $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_2$ dos normas de Banach sobre $X$ . Considere $\|\cdot\|_3:=\|\cdot\|_1+ \|\cdot\|_2. $ Demuestra que es realmente una norma. Demostrar que una secuencia converge a $x\in X$ a.v. $\|\cdot\|_3$ si y sólo si converge a $x$ ambos con respecto a $\|\cdot\|_1$ y con respecto a $\|\cdot\|_2$ . Demostrar que una secuencia es Cauchy wrto $\|\cdot\|_3$ si y sólo si es Cauchy tanto con respecto a $\|\cdot\|_1$ y con respecto a $\|\cdot\|_2$ . Deduce que $\|\cdot\|_3$ está completo. Aplicar la OMT a la identidad de $(X, \|\cdot\|_3)$ a $(X, \|\cdot\|_1)$ y de $(X, \|\cdot\|_3)$ a $(X, \|\cdot\|_2)$ y deducimos que las tres normas son equivalentes.

Sin embargo, si todas las normas de Banach sobre $X$ son equivalentes, todas las formas lineales son continuas, y en dimensión infinita hay formas lineales no continuas.

Answer 2

Tomar una base Hamel normalizada $y_a$ , $a\in A$ , para $Y$ un espacio de Banach separable de dimensión infinita, de modo que $A$ tiene cardinalidad el continuo. Escribe $A$ como una unión disjunta de $B$ y una secuencia $a_n$ . Definir $T$ del tramo lineal $X$ de la base vectorial unitaria $e_a$ , $a\in A$ de $\ell_1(A)$ a $Y$ al establecer $T e_{a_n} = n^{-1} y_{a_n}$ y $T e_a = x_a$ para $a\in B$ . Entonces $T$ tiene norma uno y es sobreyectiva e inyectiva, pero no es abierta.

Answer 3

Elija un espacio de Banach de dimensión infinita $\left( Y,\|\cdot\| \right)$ con una forma lineal no continua $\phi$ . Tome $X$ para ser el mismo espacio vectorial $Y$ con la norma $\|x\|_ \phi:=\|x\|+|\langle \phi,x\rangle|.$ Tome $T$ la identidad. Entonces $T$ es continua, ya que $ \|x\| \leq \|x\|_ \phi $ . Sin embargo, $ \|\cdot\|_ \phi $ no puede ser completa, o sería equivalente a $ \|\cdot\|$ por el teorema del mapa abierto, y $\phi$ sería continua con respecto a $\|\cdot\|$ .

$$* $$

Rmk: existencia de una forma lineal no continua en cualquier espacio normado de dimensión infinita . En cualquier espacio normado de dimensión infinita $Y$ se puede definir una forma lineal no continua como el mapa de proyección sobre el cociente de $Y$ en un subespacio lineal no cerrado $N$ de codimensión 1 (por tanto densa), identificando el cociente $Y/N$ avec $\mathbb{R}$ . Dicho subespacio lineal puede definirse a partir de una base de Hamel. En efecto, dejemos que $\{u_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ sea una base de Hamel para $Y,$ y elegir $\lambda_0\in\Lambda$ . Podemos suponer $\inf_{\lambda\in\Lambda}\|u_\lambda\|=0$ porque $\Lambda$ es infinito y se puede renormalizar la base. Definir $N:=\mathrm{span}\left( \{u_\lambda-u_{\lambda_0}\, : \,\lambda\in\Lambda\}\right).$ Entonces $N$ es de codimensión 1 y $\bar N=Y.$ Por supuesto, la existencia de una base de Hamel requiere el lema de Zorn.

Answer 4

El problema 5.31 de la obra de Folland Análisis real es un ejemplo de ello.

Dejemos que $Y$ sea un espacio de Banach, $Z$ cualquier espacio normado, y que $S : Y \to Z$ sea un operador lineal no acotado y definido en todas partes (se necesita el axioma de elección para construir tal cosa). Sea $X \subset Y \times Z$ sea el gráfico de $S$ : $X = \{(y,Sy) : y \in Y\}$ por el teorema del gráfico cerrado $X$ no está completa. Dejemos que $T : X \to Y$ sea el mapa $T(y,Sy)=y$ . $T$ es biyectiva y acotada pero su inversa no puede ser acotada, por lo que no es abierta.