Matrices invertibles que satisfacen $[x,y,y]=x$

Question

He estado pensando en esta cuestión durante bastante tiempo, pero ahora este pregunta de Denis Serre revivió algunas esperanzas.

Pregunta. Dejemos que $x,y$ sean matrices invertibles (por ejemplo, sobre $\mathbb C$ ) y $[x,y,y]=x$ donde $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$ , $[a,b,c]=[[a,b],c]$ . ¿Se deduce que algún poder de $x$ es unipotente?

La motivación es ésta. Consideremos el grupo de un relator $\langle x,y \mid [x,y,y]=x\rangle$ . Es hiperbólico (demostrado por A. Minasyan) y residualmente finito (que se demuestra en mi trabajo con A. Borisov). Si la respuesta a la pregunta anterior es "sí", entonces ese grupo sería no lineal, lo que proporcionaría un ejemplo explícito de grupo hiperbólico no lineal.

Actualización 1. Puede $x$ en la anterior sea una matriz diagonal y no una raíz de 1?

Actualización 2. El grupo es residualmente finito, por lo que tiene muchas representaciones por matrices tales que $x, y$ tienen órdenes finitos (de ahí que sus potencias sean unipotentes).

Actualización 3. El grupo tiene presentación como una extensión HNN ascendente del grupo libre: $\langle a,b,t \mid a^t=ab, b^t=ba\rangle$ . Por tanto, está relacionado con el mapa de Morse-Thue. Las propiedades de ese mapa pueden tener algo que ver con la pregunta. Ver dos cuasi-motivaciones de la pregunta como mis comentarios .

Answer 1

La respuesta es "No". De hecho, considere el grupo relacionado con 1 $G=\langle x,y \mid [x,y,y]=x\rangle$ Ese grupo tiene una presentación $\langle a,b,t \mid a^t=ab, b^t=ba\rangle$ (fácil de comprobar). Por lo tanto, es una extensión HNN ascendente del grupo libre. El grupo $G$ es hiperbólico (demostrado por Minasyan mediante el teorema de combinación de Bestvina-Feighn). Por un teorema de Hagen y Wise, el grupo (y casi todas las demás extensiones HNN ascendentes hiperbólicas de un grupo libre) actúa geométricamente sobre un complejo cúbico CAT(0) de dimensión finita. Por un resultado de Ian Agol, el grupo $G$ es virtualmente especial y por tanto lineal, es decir, existe un homomorfismo inyectivo $\phi$ de $G$ a un grupo lineal especial (sobre $\mathbb{Z}$ ). Dado que $G$ es hiperbólica, no contiene subgrupos nilpotentes no abelianos. Así, el par de matrices enteras $(\phi(a), \phi(b))$ es un ejemplo que demuestra que la respuesta es "no".

Answer 2

He aquí una prueba rápida que podría desmentir tus esperanzas muy rápidamente:

Toma $n$ para ser pequeño: Intenta $2$ primero, y $5$ está probablemente cerca del límite de un sistema de álgebra computacional. Elija $x$ para que sea un azaroso $n \times n$ matriz diagonal con determinante $1$ por ejemplo, $\mathrm{diag}(17, 1/17)$ . Escriba su relación, dejando todos los elementos de $y$ como variables. Después de despejar los denominadores, se tiene $n^2$ ecuaciones homogéneas simultáneas en $n^2$ variables. (Si no he cometido errores tontos, tienen grado $3n$ .) Pide a tu sistema de álgebra computacional favorito que las resuelva por ti. Si alguna de las raíces no está en la hipersuperficie $\det y=0$ Entonces tienes un contraejemplo.