Supongamos que miramos el grupo de Heisenberg $H_{d}$ como un grupo de matrices triangulares superiores sobre el anillo $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ . Incluso puede elegir $d$ para que sea primordial si lo desea. Un irrep natural de $H_{d}$ actuando en $\mathbb{C}^{d}$ mapea los elementos del grupo en los operadores de "desplazamiento" y "fase", además de las raíces de la unidad. Más concretamente, los dos generadores naturales mapean los vectores base ortonormales de $j \to j+1\mod d$ y la transformada de Fourier de esa operación, más las fases globales por raíces de la unidad. La cuestión es la siguiente:
¿Puedes encontrar un vector unitario $v$ tal que $|(v,U_g v)| = c$ para todo g que no esté en el centro de $H_{d}\ ?$ Se puede resolver la constante: $c=\frac{1}{\sqrt{d+1}}$ .
Los números sugieren que estos vectores existen en todas las dimensiones $< 67$ por lo que pueden existir en todas las dimensiones, pero la forma de los vectores no contiene ninguna pista (obvia) sobre cómo demostrarlo.
Este problema parece extremadamente truculento y cualquier ayuda es muy apreciada.
