Ciertamente, se apuesta por la inexistencia (actual) de tal ejemplo. Pero eso es aburrido. He aquí un par de observaciones positivas, aunque -en mi opinión- cada una de ellas no llega a ser realmente positiva respuesta y, de hecho, no conozco nada que pueda llamar un modelo "natural" no estándar de $\mathsf{PA}$ .
En primer lugar, una observación básica de la teoría de modelos. Digamos que una estructura $\mathfrak{M}$ es definible puntualmente si cada elemento de $\mathfrak{M}$ es definible (sin parámetros) en $\mathfrak{M}$ . Algunas estructuras son definibles puntualmente (por ejemplo $(\mathbb{N};+,\times)$ o $(\mathbb{Q};+,\times)$ ) mientras que otros no lo son (por ejemplo $(\mathbb{R};+,\times)$ o $(\mathbb{Q};+)$ ). Del mismo modo, algunas teorías, pero no todas, tienen modelos definibles puntualmente, y algunas teorías tienen modelos definibles puntualmente aunque podríamos esperar razonablemente que no lo hicieran (como $\mathsf{ZFC}$ ). Por supuesto, cuando una teoría completa tiene un modelo definible puntualmente, tiene exactamente uno hasta el isomorfismo (basta con "hacer coincidir las definiciones" y comprobar que todo funciona).
Ahora para una estructura $\mathfrak{A}$ , dejemos que $\mathfrak{A}^{\mathsf{def}}$ sea la subestructura (permitir el vacío) de $\mathfrak{A}$ formado por todos los elementos definibles (ignorando la cuestión de que este último podría estar vacío) . En general $\mathfrak{A}^{\mathsf{def}}$ puede ser muy diferente $\mathfrak{A}$ Sin embargo, resulta que los modelos de $\mathsf{PA}$ se comportan muy bien en este sentido: siempre tenemos $\mathfrak{A}^{\mathsf{def}}\preccurlyeq\mathfrak{A}$ cuando $\mathfrak{A}\models\mathsf{PA}$ . Esto se debe a que tenemos una inducción completa en $\mathsf{PA}$ : piense en la prueba de Tarski-Vaught y observe que el menor número que satisface una fórmula es siempre definible.
En consecuencia, cada finalización de $\mathsf{PA}$ tiene un modelo definible puntualmente. Por la observación de unicidad anterior, esto significa que podría decirse que toda terminación natural de $\mathsf{PA}$ (que no sea aritmética verdadera, $\mathsf{TA}$ , sí mismo) da lugar a un modelo natural no estándar de $\mathsf{PA}$ . Por supuesto, todavía tenemos que llegar a una terminación "natural" de $\mathsf{PA}$ que no sea $\mathsf{TA}$ Pero creo que esto sigue siendo un resultado con "sabor" positivo en algún sentido.
¿Qué pasa con los modelos no estándar de $\mathsf{TA}$ ? El único modelo definible puntualmente de $\mathsf{TA}$ es obviamente sólo $\mathbb{N}$ por sí mismo, por lo que lo anterior no ayuda. Aquí podemos recurrir a las construcciones ultrapotentes, y -a pesar de los obvios obstáculos- todavía hay un par de cosas positivas que decir.
En primer lugar, asumiendo $\mathsf{CH}$ tenemos que dos ultrafiltros no principales cualesquiera en $\omega$ dan ultrapoderes isomórficos de $\mathbb{N}$ (o cualquier otra estructura contable - véase aquí ). Así que "el no trivial $\omega$ -el doble ultrapoder de $\mathbb{N}$ " es realmente una descripción adecuada de un modelo no estándar de aritmética, y la naturaleza no canónica del ultrafiltro utilizado resulta desaparecer.
En $\mathsf{ZFC}$ solo aparece una construcción más complicada: no un único ultrapoder, sino una forma de combinar todos los posibles ultrapoderes en cierto sentido. En términos generales, Kanovei y Shelah produjo una forma de construir, sin ambigüedades, un campo hiperreal que funciona sólo asumiendo $\mathsf{ZFC}$ . La parte de los números naturales de este campo es entonces un modelo no estándar de $\mathsf{TA}$ . Personalmente, no considero que sea un modelo no estándar "natural", pero ciertamente es muy interesante y canónico en cierto sentido.
Bien, un último disparo:
Resolver todos nuestros problemas deshaciéndose del axioma de la elección
(Espera, ¿qué en el qué?)
Trabajar en $\mathsf{ZF}$ solo, es coherente que haya infinitas cardinalidades (cuyo nombre, por cierto, se convierte en un poco más sutil que en el país de la elección) que se comportan un poco como los números naturales. Específicamente, Sageev mostró lo siguiente:
Supongamos que $\mathsf{ZFC}$ + "Hay un cardinal inaccesible" es consistente. Entonces hay un modelo de $\mathsf{ZF}$ + "Existe un conjunto infinito Dedekind-finito" en el que las cardinalidades Dedekind-finitas se ordenan linealmente por inyectabilidad.
Esto resulta ser muy relevante para nuestra pregunta debido a un trabajo anterior (y más elemental pero más difícil de encontrar) de Ellentuck:
En cualquier modelo de $\mathsf{ZF}$ donde las cardinalidades Dedekind-finitas están ordenadas linealmente por la inyectabilidad, forman de hecho un modelo no estándar de $\mathsf{TA}$ (con " $+$ " y " $\times$ " procedentes de la unión disjunta y del producto cartesiano, como se esperaba).
En conjunto, estos resultados muestran que ciertos modelos de $\mathsf{ZF}$ vienen con, en mi opinión, modelos canónicos no estándar muy naturales y sorprendentes de la verdadera aritmética. Por supuesto, esto requiere que la elección falle extremadamente mal y gran parte de estos modelos aún no están claros (véase 1 , 2 ), así que todavía no creo que esto constituya una respuesta positiva a tu pregunta, pero aun así, es bastante genial, ¿no?
