Corolario 1.4.4 Libro "Funciones especiales" de Roy

Question

Dentro de la prueba del Corolario 1.4.4 "Funciones Especiales" de Roy, el libro afirma la siguiente desigualdad sin ningún detalle :

$|\dfrac{B_2}{a+ib} - \int_0^{\infty} \dfrac{B_2(t-[t])}{(a+ib+t)^2} dt| \le \frac14 \int_0^{\infty} \dfrac{1}{(a+t)^2+b^2} dt.$

Mi intento : muy probablemente $\frac14$ proviene de ese máximo de $B_2 - B_2(t) = t - t^2$ es $\frac14$ para $0 \le t \le 1$ . También $|a+ib+t|^2=(a+t)^2+b^2$ . ¿Cómo concluye la mencionada desigualdad del libro?

Aquí $B_n=B_n(0)$ son números de Bernoulli y $B_n(t)$ son polinomios de Bernoulli.

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilice $$\frac{1}{a+ i b } = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(a+ i b+t)^2} dt$$