Me pidieron que encontrara los tres primeros términos de la serie taylor de $\psi (z)$ alrededor de $z=0$ donde $(e^z-1)^2=z^2 \psi(z)$
y estoy teniendo algunas dificultades.
Mi idea original era decir $\psi (z)=\frac{(e^z-1)^2}{z^2}$ y luego encontrar la serie de taylor de $(e^z-1)^2$ en $z=0$ , encontrar la serie taylor de $\frac{1}{z^2}$ en $z=0$ y se multiplican. El problema es que no existe la serie taylor de $\frac{1}{z^2}$ en $z=0$ ya que no es analítica, ni continua, ni siquiera está definida en $z=0$ . Así que fue una mala idea.
Mi segunda idea "funcionó", pero quiero comprobar mi respuesta.
La idea era encontrar la serie taylor de $f(z)=(e^z-1)^2$ . Es fácil ver que $f(0)=f'(0)=0$ por lo que los dos primeros términos son $0$ y para cualquier $n \geq 2$ : $f^{(n)}(z)=2e^z$ y así $f^{(n)}(0)=2$
Así que la serie taylor de $f$ alrededor de $z=0$ es $f(z)=\frac{2}{2!}z^2+\frac{2}{3!}z^3+\frac{2}{4!}z^4+...$
Así que tenemos
$\frac{2}{2!}z^2+\frac{2}{3!}+\frac{2}{4!}z^4+...=z^2 \psi(z)$ y así $\psi(z)=\frac{2}{2!}+\frac{2}{3!}z+\frac{2}{4!}z^2+...$ y especificamos los tres primeros términos.
¿Es correcto este resultado? Me cuestiono porque desafía la lógica que no sea posible de la manera anterior (de encontrar el taylor de $\frac{1}{z^2}$ ) pero aquí estoy obteniendo un resultado correcto.
