¿Hay alguna manera de encontrar un $2 \times 2$ ¿Matriz de valores enteros de cualquier orden multiplicativo arbitrario?

Question

Supongo que, en primer lugar, esto se reduce a dos cosas. En primer lugar, dado cualquier $n \in \mathbb{N}$ ¿existe siempre una matriz de valores enteros de orden $n$ ? En segundo lugar, ¿cómo podríamos encontrar dicha matriz?

Si dejamos que haya números complejos, podríamos tomar una primitiva $n$ raíz de 1, por ejemplo $\varphi$ y luego la matriz $$\begin{bmatrix} \varphi & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ satisfaría los requisitos. Sé que las matrices similares a esta también tendrán orden $n$ pero no encuentro ninguna manera de encontrar una matriz entera.

Si no hay una manera para las matrices de valor entero, ¿podemos reducir la restricción a las de valor real?

Answer 1

Necesitamos algunas observaciones clave. En primer lugar, el polinomio característico de $A\in M_{2\times 2}$ es un polinomio mónico de grado 2. Segundo, por Cayley-Hamilton, $A$ satisface su polinomio característico. En tercer lugar, si $f(A)=0$ y $g(A)=0$ y si $h=\gcd(f,g)$ entonces por el algoritmo de la división, $h(A)=0$ . Cuarto, el gcd de dos polinomios integrales mónicos es mónico e integral (o un poco más débil, el gcd de dos polinomios racionales es racional).

Así que supongamos que $A$ tiene orden $n$ para que $g(A)=0$ , donde $g(x)=x^n-1$ . Tenga en cuenta que $x^n-1=\prod_{d\mid n} \phi_d(x)$ donde $\phi_n(x)$ es el $n$ polinomio ciclotómico, que es irreducible. Sea $f(x)$ sea el polinomio característico de $A$ . Entonces $\gcd(f(x),g(x))$ es un producto de polinomios ciclotómicos de grado máximo 2. Pero el grado de $\phi_n$ es $\phi(n)$ (aquí, $\phi$ es la de Euler $\phi$ función). Tenemos $\phi(n)=1$ cuando $n=1,2$ y $\phi(n)=2$ cuando $n=3,4,6$ . Juntando todo esto, el orden sólo puede ser $1, 2, 3, 4,$ o $6$ (aunque para matrices más grandes, podemos hacer que las cosas se combinen de forma más complicada).