Con respecto a la "interpretación", bueno eso es una estándar camino de clasificar las permutaciones, basándose en su estructura de ciclos, por lo que la suya es una interpretación plausible .
Podemos representar una permutación dada a través de sus ciclos, como en uno de sus ejemplos $$ \left( {1,2,3} \right)\left( {4,5,6,7,8} \right)\left( 9 \right)\left( {10} \right) $$ Sin embargo, esa misma permutación en frío se puede representar también mediante $$ \left( {4,5,6,7,8} \right)\left( {3,1,2} \right)\left( 9 \right)\left( {10} \right) $$ es decir, los ciclos pueden permutarse entre sí, y cada ciclo puede ser permutado cíclicamente internamente.
La representación puede ser unívoca si
- cada ciclo se toma para comenzar con su (por ejemplo) elemento más bajo;
- los ciclos se ordenan (por ejemplo, de forma creciente) según su primer elemento;
que es el ejemplo que has puesto.
Otra representación unívoca es posible, y es más conveniente para los cálculos que usted requiere, que es:
- cada ciclo se toma para comenzar con su (por ejemplo) elemento más bajo;
- los ciclos se ordenan en primer lugar por su longitud y en segundo lugar por su primer elemento; De este modo, nuestro ejemplo se convierte en $$ \left( 9 \right)\left( {10} \right)\left( {1,2,3} \right)\left( {4,5,6,7,8} \right) $$
Las permutaciones pueden dividirse en función de lo que se denomina estructura del ciclo , que corresponde a un vector $C$ donde cada componente $C_k$ representa el número de ciclos de longitud $k$ y claramente $$ \sum\limits_{1\, \le \,k\, \le \,n} {k\,C_{\,k} } = n $$ con $n$ siendo el número de elementos de la permutación.
Nuestro ejemplo corresponderá a $$ C = \left( {2,0,1,0,1,0,0,0,0,0} \right) $$
Así que, tal y como se interpreta, el problema consiste en preguntar el número de permutaciones correspondientes a una estructura de ciclo dada $C$ .
El número de formas de componer un $k$ -ciclo de $m$ elementos disponibles es la misma que la de componer un $k$ -subconjunto de a $m$ -set, multiplicado por el $(k-1)!$ número de formas de permutar los elementos más allá de la primera, que se supone que es el más bajo. Así que $$ N_{\,k} (m) = \left( {k - 1} \right)!\left( \matrix{ m \cr m - k \cr} \right) = \left[ {k \le m} \right]{{m!} \over {k\,\left( {m - k} \right)!}} $$ donde $[P]$ denota el Soporte Iverson .
Para componer $C_k$ $k$ -ciclos de $m$ elementos disponibles, el número de formas será $$ \eqalign{ & N_{\,k} (m)N_{\,k} (m - k)\, \cdots \,N_{\,k} (m - k\,C_{\,k} )/C_{\,k} ! = \cr & = \left[ {k\,C_{\,k} \le m} \right]{1 \over {k^{\,C_{\,k} } \,C_{\,k} !}}{{m!} \over {\,\left( {m - k\,C_{\,k} } \right)!}} \cr} $$ donde la división por $C_k!$ es porque el orden de los ciclos es fijo.
Así, el número de permutaciones de $n$ elementos con una estructura de ciclo determinada $C$ es: $$ N(C) = \;{{n!} \over {\prod\limits_{1\, \le \,k\, \le \,n} {k^{\,C_{\,k} } C_{\,k} !} }} = \;{{\left( {\sum\limits_k {k\,C_{\,k} } } \right)!} \over {\prod\limits_k {k^{\,C_{\,k} } C_{\,k} !} }} $$ consulte, por ejemplo a este documento .
Por lo tanto, su cálculo es correcto.
