¿Por qué no es $\frac{1}{x}$ ¿un polinomio?
¿Se deduce directamente de la definición? Hasta donde yo sé, los polinomios en $F$ son expresiones de la forma $\sum_{i=0}^{n} a_ix^i$ , donde $a_i\in F$ y $x$ es un símbolo.
¿O se trata de un argumento más bonito?
Nota a pie de página: $F$ es un campo de característica cero.
Si quieres una "prueba" más formal, puedes suponer por contradicción que $1/x$ es de hecho igual a alguna expresión $a_k x^n$ de la forma $ \sum_{k=0}^n a_k x^n $ :
$$ \frac{1}{x} = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$$
multiplicando por $x$ da:
$$ 1 = a_0 x + a_1 x^2 + \cdots + a_n x^{n+1}$$
Configurar $x=0$ da: $$ 1 = a_0 \cdot 0 + \cdots + a_n \cdot 0^{n+1} = 0$$
una contradicción, por lo que debemos tener que $1/x$ no es un polinomio.
La respuesta corta, como señala Randall en su comentario, es que los polinomios son por definición sumas de términos de la forma $ax^k$ donde $k \ge 0$ ya que $x^{-1}$ no es de este tipo, no es polinómica. En realidad, esto cubre el caso de los polinomios formalmente definidos
$p(x) \in F[x], \tag 1$
ya que no hay ningún término de la forma $x^{-1} \in F[x]$ según la definición convencional, que sólo contempla las potencias no negativas de $x$ .
Quizás una cuestión algo más sutil es si, como función , $x^{-1}$ puede expresarse un elemento de $F[x]$ es decir, ¿podemos tener alguna vez
$x^{-1} = p(x) = \displaystyle \sum_0^n p_i x^i \in F[x], \; p_i \in F, \; 0 \le p_i \le n? \tag 2$
la comprensión habitual de esta ecuación, como una equivalencia de funciones es que
$\forall 0 \ne a \in F, \; a^{-1} = p(a). \tag 3$
Bajo la hipótesis de que
$\text{char}(F) = 0 \tag 4$
podemos descartar (3) de la siguiente manera: es equivalente a
$\forall 0 \ne a \in F, \; ap(a) = 1, \tag 5$
que de hecho afirma que cada $0 \ne a \in F$ es una raíz del polinomio
$xp(x) - 1 = \displaystyle \sum_0^n p_i x^{i + 1} - 1; \tag 6$
tenemos
$\deg(xp(x) - 1) = n + 1; \tag 7$
como tal, $xp(x) - 1$ tiene como máximo $n + 1$ ceros en $F$ pero (4) implica que $F$ contiene una copia de los racionales $\Bbb Q$ como un subcampo infinito; cada elemento no nulo de $\Bbb Q$ debe satisfacer (6), por lo que se consigue una reducción al absurdo. Por lo tanto, (2) no puede ser el caso. $OE\Delta.$
Tenga en cuenta que: $$\frac{1}{x}=x^{-1}$$
Basándonos en la definición de wikipedia de un polinomio encontrado aquí :
En matemáticas, un polinomio es una expresión formada por variables (también llamadas indeterminadas) y coeficientes, que implica únicamente las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos de las variables.
Es fácil ver que nuestra expresión no cumple el criterio de ser un polinomio debido a que su variable contiene un exponente negativo.
También podemos mostrar el resultado ignorando la construcción habitual de $F(X)$ y en su lugar utilizar (sólo) la definición de propiedad universal:
El anillo polinómico $F[X]$ es un anillo $P$ junto con un homomorfismo de anillo $i\colon F\to P$ y un elemento especial $X\in P$ , tal que para todos los anillos $A$ , homomorfismos de anillo $f\colon F\to A$ y elementos $a\in A$ existe uno y sólo un homomorfismo de anillo $h\colon P\to A$ avec $h\circ i=f$ y $h(X)=a$ .
Ahora supongamos que existe $u\in P$ tal que $uX=1$ (o, si no exigimos anillos unitales, simplemente $uX=i(e)$ para algunos $e\ne0$ ). Considere $A=F$ , $a=0$ , $f=\operatorname{id}_F$ . Por la propiedad universal, existe $h\colon P\to F$ tal que $h\circ i=\operatorname{id}_F$ y $h(X)=0$ . Entonces $$e=h(i(e))=h(uX)=h(u)h(X)=h(u)0=0,$$ una contradicción.
En primer lugar, se puede utilizar la intuición de los polinomios en los que los coeficientes son del números reales . Siendo en todo momento la imagen de $[-1,1]$ es un conjunto compacto, que está acotado para un polinomio. Pero la imagen del mismo conjunto bajo $f(x)= \frac1x$ no tiene límites. Así que podemos ver que en los reales, $1/x$ no es un polinomio.
Tomemos ahora un campo cualquiera de característica 0. Se puede ver que si $\alpha$ es cualquier raíz de $g(x)$ entonces tiene que ser una raíz del polinomio producto $f(x)g(x)$ . Asumiendo ahora $f(x)=\frac1x$ es un polinomio que se multiplica con el segundo polinomio $g(x)=x(x-1)$ . Su producto es el polinomio $(x-1)$ Este producto sólo tiene una raíz, a saber $1$ mientras que $g(x)$ tiene dos raíces, 0 y 1. Esta contradicción debería resolver la cuestión.
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