¿Cómo puedo calcular el valor de la mediana?

Question

$$f(a,b) = a^b$$

Donde $0\le a \le1$ y $0\le b \le1$ y $a\ne0$ o $b\ne0$

¿Cómo puedo calcular el valor medio de $f$ ?

Puedo estimar que es aproximadamente 0,76536 tomando valores a lo largo del intervalo. Sin embargo, esto no es una respuesta matemática. Me gustaría saber si se puede calcular algebraicamente.

Answer 1

Para una variable aleatoria continua $X$ la mediana se define a veces como el valor $x$ tal que $\Pr[X \le x] = \Pr[X > x]= \dfrac{1}{2}$ .

Por lo tanto, si asumimos que $A,B$ son i.i.d. $\text{Uniform}[0,1]$ y dejamos que $X = A^B$ , entonces la mediana $x$ se satisface:

$\dfrac{1}{2} = \Pr[X \ge x] = \Pr[A^B \ge x] = \Pr[B \le \dfrac{\ln x}{\ln A}] = \displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0}^{\min\{1,\frac{\ln x}{\ln a}\}}\,db\,da$ $= \displaystyle\int_{0}^{1}\min\{1,\dfrac{\ln x}{\ln a}\}\,da = \int_{0}^{x}\dfrac{\ln x}{\ln a}\,da + \int_{x}^{1}1\,da = \text{Li}(x)\ln x + (1-x)$ ,

donde $\text{Li}(x) = \displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\,dt}{\ln t}$ denota el Integral logarítmica .

Podemos resolver la ecuación $\text{Li}(x)\ln x + (1-x) = \dfrac{1}{2}$ numéricamente, lo que arroja un valor medio de $x \approx 0.765352996676930...$ . Esto es bastante parecido a lo que se obtiene discretizando el problema.

Answer 2

Nunca he oído el término mediana aplicado a una función de esta manera, así que sólo para comprobar que estamos en la misma página, creo que estamos tratando de encontrar el valor $m$ tal que el conjunto de $(a,b)$ avec $0\le a \le 1$ , $0 \le b \le 1$ y $a^b\le m$ tiene exactamente el área $1/2$ .

El cálculo de las áreas sugiere la integración. Tenemos que elegir $a$ o $b$ como la variable a integrar. Escribir las cosas en términos de $a$ obtenemos $a \le \sqrt[b]{m}$ mientras que escribir las cosas en términos de $b$ obtenemos $b \le \log_a m$ (ambos funcionan porque $\log$ y $\sqrt[b]{}$ son ambos preservadores del orden en este rango).

Trataremos $m$ como parámetro variable y esperamos obtener una expresión para el área en términos de $m$ y ver si podemos elegir $m$ para obtener una respuesta de $1/2$ .

Creo que el $a$ parece un poco más fácil. Así que hay aproximadamente tres pasos:

1. Averigüe dónde $\sqrt[b]{m} > 1$ para que el $a \le 1$ es la restricción importante, y calcular esta área como altura $\times$ de ancho.
2. El resto del tiempo, el $0 \le a\le\sqrt[b]{m}$ es la restricción importante, por lo que integra $\sqrt[b]{m}$ sobre un rango adecuado y el área es lo que se obtiene de eso. (Tenga en cuenta que $\sqrt[b]{m}$ es estrictamente positivo, por lo que esta desigualdad es siempre satisfacible)
3. Suma los dos resultados anteriores.

Bueno, $\sqrt[b]{m} > 1$ exactamente cuando $m > 1$ Así que esa parte es realmente fácil: $m$ es el área de un subconjunto de un conjunto de tamaño $1$ Así que $m \le 1$ y el $a \le 1$ La restricción nunca es la importante. Así que tenemos que hacer: \[\int_0^1 m^{1/b} \mathrm d b = \int_0^1 e^{frac{1}{b}\log m}\mathrm db\] Esto parece difícil. El integrando no existe realmente cuando $b = 0$ pero en realidad eso está bien porque para $m \le 1$ tiene un límite claro como $b \to 0$ para que se pueda calcular como una integral impropia. Lamentablemente no sé cómo continuar, pero he escrito lo suficiente como para no borrarlo ahora: Supongo que esta es una respuesta parcial. (Se podría intentar de nuevo escribiendo las cosas en términos de $b$ pero supongo que aún te resultará difícil).